Nyttemaksimum

U_a=3xy²

Hvis I kan Lagrange, ved I, at optimumsbetingelsen er, at den numeriske værdi af MRS er lig de relative priser. Vi udregner derfor MRS, idet

|MRS|=3y²/(6yx)=y/(2x), så

optimumsbetingelsen bliver

|MRS|=p₁/p₂ => y/(2x)=p₁/p₂ <=> 2x=p₂/p₁y <=> x=p₂/p₁y?/2.

Indsæt nu dette i budgetbetingelsen, der har formen p₁x+p₂y=m, så

p₁(p₂/p₁y?/2)+p₂y=m <=> p₂y/2+p₂y=m <=> y/2+y=m/p₂ <=> 3/2y=m/p₂ <=> y=2/3*m/p₂,

som kan indsættes i udtrykket for x, så

x=p₂/p₁(2/3*m/p₂)/2 <=> x=m/(3p₁),

hvormed vi er færdige.

Jeg ved sørme ikke, hvordan ? fik forvildet sig ind i beregningerne, men det kan selvfølgelig blot ignoreres.

Jeg vil i øvrigt gerne lige vise den nemmeste måde at regne den på.

Når I har nyttefunktionen

U_a=3xy²

kan I tage en positiv, monoton transformation, idet

U_a/3≡μ_a=xy²,

hvor I kan se, at der er tale om en Cobb-Douglas funktion. Tag nu en ny positiv, monoton transformation, så

μ_a^1/3≡ψ_a=x^1/3y^2/3.

Benyt nu, at eksponenterne, når de summer til 1, svarer til forbrugerens indkomstandele, når nyttefunktionen er en Cobb-Douglas funktion, da har I nemligt, at

x=1/3*m/p₁

og 

y=2/3*m/p₂,

som jo lige netop svarer til det, jeg udregnede i #1.

Et godt råd er altid at være SMART. :-)