Matematik

d/dx e^x

11. juni 2005 af D@niel (Slettet)

Hej..

Vi har en gang fået en udledning der viser at e^x differentieret giver e^x. Men den er tilsyneladende forsvundet. Nogen af jer der kan kan den, eller kan finde udledningen på nettet?

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. juni 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Hvis vi skriver e^x som en uendelig række

e^x
= sum_{n=0}^{uendelig}(x^n/n!),

kan vi differentiere ledvist, eftersom konvergensradius for denne række er uendelig:

d/dx[e^x]
= d/dx[sum_{n=0}^{uendelig}(x^n/n!)]
= sum_{n=0}^{uendelig}(1/n!*d/dx[x^n])
= sum_{n=0}^{uendelig}(n/n!*x^(n-1))
= 1/x*sum_{n=0}^{uendelig}(n/n!*x^n).

Hvis vi nu kan vise, at

sum_{n=0}^{uendelig}(n/n!*x^n)
= x*e^x,

er vi færdige. Vi omskriver derfor rækken på følgende måde:

sum_{n=0}^{uendelig}(n/n!*x^n)
= sum_{n=1}^{uendelig}(n/n!*x^n)
= x*sum_{n=1}^{uendelig}(1/(n-1)!*x^(n-1))
= x*sum_{n=0}^{uendelig}(1/n!*x^n)
= x*e^x

Hermed er det ønskede bevist.

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. juni 2005 af 404error (Slettet)

#1: Nu er det nok alligevel et fåtal af gymnasieelever, som er bekendt med uendelige rækker...

#0: Hvordan har I defineret e^x? En hurtig omgang tretrinsregel giver delvist svaret, idet

lim_{h->0}(exp(x+h)-exp(x))/h =
exp(x)*lim_{h->0}(exp(h)-1)/h =
exp(x)*1 = exp(x).

Vær opmærksom på, at grænseværdien i anden linje slet ikke er triviel at udregne. Det er faktisk en måde at *definere* e på - dvs. som det tal a, der opfylder

lim_{h->0}(a^h-1)/h = 1.

Derfor afhænger et rigoristisk bevis af, hvordan I har valgt at indføre tallet e. En anden klassisk mulighed er at vise resultatet ved først at definere ln vha. et passende integral og efterfølgende vise, at ln er en (glat) bijektion af (0,infty) på R, definere exp som dens inverse, og endelig bestemme den afledede vha. regnereglen om den afledede af den inverse funktion.

Svar #3
11. juni 2005 af D@niel (Slettet)

uha, uha...

Det ligner ikke noget jeg har set før..

jeg skal lige vide hvad exp betyder, så kan jeg prøve at tyde det.

Vores lærer viste os en lille udledning på 4-5 linier der viste hvorfor d/dx e^x = x*e^x.. Det er den jeg søger, og det ligner ikke noget af det i skriver - desværre :-/

Brugbart svar (0)

Svar #4
11. juni 2005 af frodo (Slettet)

d/dx e^x= d/dx exp(x)
to måder at skrive det samme på, men det giver da ikke x*e^x

Svar #5
11. juni 2005 af D@niel (Slettet)

hov.. Nej :)

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. juni 2005 af frodo (Slettet)

den måde vi viste det på, var ved hjælp af kendskab til differentialkvotienten til ln, så hvis du har bevist den, kan du jo bare bevise e^x's afledede vha. sætningen om differentiation af inverse funktioner

Svar #7
11. juni 2005 af D@niel (Slettet)

Ja, ok... Jeg leger lidt med det. Tak for hjælpen alle.

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. juni 2005 af /quillity (Slettet)

vi lavede den også udfra inverse

y=e*x vi søger dy/dx
x=ln(y) dx/dy=1/y

dy/dx=1/(dx/dy)=1/(1/y)=y=e^x

Brugbart svar (0)

Svar #9
11. juni 2005 af /quillity (Slettet)

anden linie er selvfølgelig e^x

Brugbart svar (0)

Svar #10
11. juni 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#2. Du skriver, at de sikkert ikke har lært om uendelige rækker -- jeg tvivler også på, at de har lært om glatte bijektioner :-)

Brugbart svar (0)

Svar #11
11. juni 2005 af 404error (Slettet)

#10: Det har de forhåbentlig, ellers kan de slet ikke bruge den metode, som foreslås af f.eks. #8. Dog erkender jeg, at det præcise ordvalg i gymnasiesammenhæng nok snarere vil være 'differentiabel bijektion'.

Brugbart svar (0)

Svar #12
11. juni 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#11: Der er jo også en væsentlig forskel på at være differentiabel og glat; når jeg hører ordet 'differentiabel', går jeg i hvert fald ud fra, at der er tale om 1 gang differentiabel, men ved hvad du mener! Bevises det i grunden (ordentligt!) i gymnasiet, at R_+ -> R, hvor x |-> log(x), er bijektiv?

Brugbart svar (0)

Svar #13
11. juni 2005 af 404error (Slettet)

#12: De fleste differentiable funktioner, man støder på til dagligt er også glatte, så det medfører nok en lidt løs brug af denne betegnelse. I praksis er glatte funktioner ofte også lidt overflødige. Jeg kan kun erindre konstruktioner fra funktionalanalyse, hvor glathed (dvs. C^n for vilkårlig naturligt n) virkelig er nødvendigt. I næsten alle andre sammenhænge er det nok med C^2- eller C^3-funktioner. Nå, men det var et sidespring...

Hvad angår bijektivitet af log, så ja; vi beviste det i hvert fald. Med definitionen

log(x) := int_1^x 1/t dt,

er det i øvrigt ganske ligetil.

Brugbart svar (0)

Svar #14
11. juni 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#13: Nå ja, jeg tror da faktisk også vi fik et tilsvarende bevis, men det er jo så længe siden :-)

Skriv et svar til: d/dx e^x

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.