Lagrangian

Det er ikke nødvendigt at opskrive Lagrangefunktionen, men det er da en mulighed. Da du ikke har skrevet nyttefunktionen op, er det dog umuligt at sige, om du har regnet korrekt.

Hov, ja... nyttefunktionen er: U=Qx_*Q_y

Er der ikke EN ligning for Langrangian-metoden? Jeg synes, når jeg prøver at søge omkring det på nettet så får jeg nærmere et bevis op - eller en længere formel?

Du har et optimeringsproblem, som du skal løse. Du vil gerne maksimere nytten, dvs

U(Q_x,Q_y)=Q_xQ_y

under bibetingelsen

12,50Q_x+8Q_y=4800.

Et optimeringsproblem underlagt bibetingelse i diskret tid kan netop løses ved at opskrive Lagrangefunktionen. Det kan bevises, at når Lagrangefunktionen er optimeret, da er nytten også optimeret under bibetingelsen, så når Lagrangefunktionen er opskrevet, er problemet i praksis reduceret til at optimere denne.

Lagrangefunktionen er

L(Q_x,Q_y,λ)=Q_xQ_y-λ(12,50Q_x+8Q_y-4800).

Denne optimeres ved at løse førsteordensbetingelserne

∂L/∂Q_x=0

∂L/∂Q_y=0

∂L/∂λ=0.

Det gør vi så, idet

∂L/∂Q_x=Q_y-12,50λ=0 <=> Q_y=12,50λ                                                    (1)

∂L/∂Q_y=Q_x-8λ=0 <=> Q_x=8λ                                                                     (2)  

og

∂L/∂λ=12,50Q_x+8Q_y-4800=0 <=> 12,50Q_x+8Q_y=4800.                    (3)

Så har du tre ligninger med tre ubekendte, som du kan løse. 

Indsæt (1) i (3), så

12,50Q_x+8*(12,50λ)=4800.                                                                    (4)

Isoler nu λ i (2) og indsæt i (4), så

λ=Q_x/8

hvorfor

12,50Q_x+8*(12,50*Q_x/8)=4800.

Find nu Q_x, så

12,50Q_x+12,50Q_x=4800 <=> 25Q_x=4800 <=> Q_x=192.

Brug λ=Q_x/8, så λ=192/8=24 og indsæt i (1), så

 Q_y=12,50*24=300,

hvormed vi er færdige.

Din metode gælder kun i dette tilfælde, fordi nyttefunktionen har en speciel form, så den kan du ikke bruge, medmindre du argumenterer rigtigt. Jeg har før skrevet til dig, at det er muligt at lave en positiv, monoton transformation, og hvis du gør det, er det muligt i dette tilfælde at vise, at din metode er korrekt. Men hvis vi nu i stedet havde

U=Q_x^1/3Q_y^2/3,

ville du ikke bare kunne halvere. 

Tak, det er lidt mere klart nu... men for at udnytte Langrarian skal man så ikke have en funktion først?(og jeg mener ikke nyttefunktionen)

Altså, vi har:

Funktion: f(x,,y)= U(Q_x,Q_y)=Q_x*Q_y

Begrænsing: 12,50Q_x+8Q_y=4800

Vi sætter vores begrænsing (constaint) i ligmed 0 ved at flytte om på 4800:

g(Q_x,Q_y)=12,50Q_x+8Q_y-4800=0

Skal jeg så løse førsteordensbetingelse for f(x,y) eller q(x,y)?? Jeg har nemlig set nogle forskellige videor på youtube, og de starter ligesom med først at tage den for f, og nogen steder står der "lambda" tegnet og andre steder gør der ikke? Ligesom i dit eksempel ville jeg gøre det samme, men dog UDEN at tilføje lamda tilsidst??

∂L/∂Qx=0 <=> ∂L/∂Qx=12,50

L=[Funktions der skal optimeres] - λ*[Bibetingelse]

er, hvad der kaldes Lagrangefunktionen. Du skal opskrive denne med de funktioner, du får opgivet, og så skal du optimere denne ved de tre førsteordensbetingelser, som jeg bruge i det tidligere indlæg.

Som skrevet er der forskellige måder at løse denne slags opgaver på. Det er ikke nødvendigt at bruge Lagrangeoptimering. Du kan også vælge at isolere en af variablene i bibetingelsen, indsætte denne i nyttefunktionen og så optimere nyttefunktionen, som du normalt ville gøre.

Okay, det begynder at give mere mening jo mere jeg læser om det :). Meeen, når du finder den afledte funktion af x her:

Det gør vi så, idet

∂L/∂Qx=Qy-12,50λ=0 <=> Qy=12,50λ                                                    (1)

∂L/∂Qy=Qx-8λ=0 <=> Qx=8λ                                                                     (2)

Hvorfor er det du så siger Q_y=12,50λ og IKKE Q_x=12,50λ?

Okay, det var vel den afledte! :) Kan du komme med en opgave til mig, så jeg selv kan prøve? :)

#7 Det er jo blot et spørgsmål om at kunne differentiere korrekt....

Opgave:

En økonomi består af én forbruger og to varer. Forbrugeren har en indkomst på 4000 kr., mens varen x koster 10 kr. pr. enhed og varen y koster 5 kr. pr. enhed. Forbrugeren har præferencer, der giver anledning til nyttefunktionen:

U(x,y)=x^3/4y^1/4.

Find forbrugerens optimale forbrugssammensætning.

Ih altså, jeg kan ikke huske hvordan man differentiere i potens :p

U(x,y ) =x^3/4 * y^1/4

under bibetingelsen af: f(x)=4000 = 10x + 5y --> g(x,y)=10x+5y-4000

Lagrangefunktionen er:

L(Qx,Qy,λ) = x * y + λ (10x + 5y - 4000) = x * y + 10xλ + 5yλ - 4000λ

Denne optimeres:

∂L/∂Qx = 0 = ((1)/(4squa(x)) --- er det korrekt indtil videre?

∂L/∂Q y= 0 =

∂L/∂λ = 0 =

Du skal da vist lige se på din Lagrangefunktion igen. Du har copy+paste en anelse for meget og tænkt en anelse for lidt.