Matematik

differentialligning

08. januar 2012 af larsenmax (Slettet) - Niveau: A-niveau

Antallet N af individer i en bestemt population forventes at vokse logistisk. Det anta-ges derfor, at N er løsning til en differentialligning af typen
dy/dx = ay(M-y)
hvor tiden t angiver antallet af år efter starttidspunktet.
Til starttidspunktet t = 0 er der 10.000 individer i populationen. Til tidspunktet
t = 10 forventes populationen at være vokset til 32.000 individer, og den øvre grænse
for antallet af individer i populationen forventes at være 50.000.

Den øvre grænse må være M = 50.000 ?

Men helt hvad jeg skal gøre, ved jeg ikke. Nogen der kan hjælpe?

Brugbart svar (1)

Svar #1
08. januar 2012 af peter lind

M = 50000 er korrekt.

Brug separation af variable til at læse ligningen

Brugbart svar (1)

Svar #2
08. januar 2012 af mathon

y ' = ay(M-y)
har løsningen
y = M / (1+Ce^-aM^·t)

Svar #3
08. januar 2012 af larsenmax (Slettet)

Jeg skal bestemme en forskrift for N som funktion af t, unden "deSolve"?

Brugbart svar (1)

Svar #4
08. januar 2012 af peter lind

Brug oplysningen om antallet til tiden 0 og 10 til at finde C og a

Svar #5
08. januar 2012 af larsenmax (Slettet)

Men jeg ved ikke hvordan det skal gøres uden CAS-værktøj...

Brugbart svar (1)

Svar #6
08. januar 2012 af peter lind

Du skal ikke give op på forhånd. Gå blot i gang.Hvis du kommer til et sted hvor du ikke kan komme videre, kan du altid vende tilbage

Brugbart svar (1)

Svar #7
08. januar 2012 af mathon

N = 5·10⁴ / (1+Ce^-aM^·t) gennen (0,10⁴)
hvilket giver
10⁴ = 5·10⁴ / (1+Ce⁰)

10⁴ = 5·10⁴ / (1+C)

                               1+C = 5

                               C = 4
så
                               N = 5·10⁴ / (1 + 4e^-aM^·t)      gennen (10 ; 3.2·10⁴)

3.2·10⁴ = 5·10⁴ / (1 + 4e^-aM^·10)

1 + 4e^-aM^·10 =(5 / 3.2) = 1,5625

4e^-aM^·10 =0,5625

e^-10aM = 0,140625

-10aM = ln(0,140625) = -1,96166

                               aM = 0,196166
hvoraf
                               N(t) = 5·10⁴ / (1+4e^-^0,196166^·t)

Svar #8
08. januar 2012 af larsenmax (Slettet)

ok tak, bare lige en sidste ting: hvordan udregner man populationens væksthastighed til f.eks. tiden t=18?

Brugbart svar (1)

Svar #9
08. januar 2012 af mathon

N(18) = 5·10⁴ / (1+4e^-^0,196166^·18) ≈ 44759

a = 0,196166 / (5·10⁴) = 0,000004

N '(18) = a·N(18)·(5·10⁴ - N(18))

N '(18) = 0,000004·44759·(5·10⁴ - 44759)

Skriv et svar til: differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.