Extremaer og monotoniforhold

Hvis du ikke har fået mere info, er det nok fordi du har en rimlig let graf, som du kan aflæse.. 

Ekstremaerne er de steder på grafen, hvor hældningen = 0

Du skal nu afgører mellem hvilke ekstremuspunkter, at grafen henholdsvis er stigende eller aftagende

... I hvilke intervaller af x-værdier er grafen hhv. stigende eller aftagende.

f(x)=a(x-r₁)(x-r₂)(x-r₃), 

hvor a kan være vilkårlig, når du blot skal finde x-værdier fra ekstremaer og monotoniforhold. Vælg derfor blot a=1 (hvis grafen vender venstre gren opad vælges a=-1), så

f(x)=(x-r₁)(x-r₂)(x-r₃)

og ved indsættelse

f(x)=(x-(-3))(x-(-1))(x-4)=(x+3)(x+1)(x-4)=x³-13x-12.

Find nu det krævede ud fra denne.

#3 er naturligvis noget vrøvl, når det er f'(x) og ikke f(x), der er afbilledet. Sorry.

Du har jo lige netop, at der, hvor f'(x)=0, har f(x) ekstremum.....benyt det.

Men det er vel ikke fyldestgørende blot at aflæse på grafen? Jeg kan jo godt se at x-værdierne til extremaerne er henholdsvis -2 og 2, men det er jo nemt nok at sige. Er der ikke en metode hvorpå jeg kan underbygge min påstand?

   uanset metode - aflæsning eller beregning -
   er det netop de x-værdier, for hvilke
                                                          f '(x) = 0,
   som er ekstrema-punkter                                            som påpeget i #4

.....
bemærk
              ekstremum i ental

              ekstrema i flertal               _{( og derfor ikke "ekstremaer" )}
           
                 

Sorry for min manglende grammatiske viden vedrørende matematiske begreber..

Pas nu bare på hvad det er for en graf du aflæser fra! :D

Husk hele tiden forskellen på f ' (x) og den egentlige funktion f (x)

#7

Grammatisk viden vedrørende matematiske begreber opnår man ved at læse matematiske tekster, for eksempel den til faget hørende lærebog, og mærke sig, hvorledes ordene for de matematiske begreber anvendes i sætningerne.

Beskrivelsen i #0 må fortolkes således, at den afledede f'(x) er et 3.-gradspolynomium med nulpunkter for x = -3, x = -1, og x = 4. Den afledede funktion f'(x) må derfor enten have fortegnsvariationen

f'(x)   -    0    +   0      -         0    +
-----------|---------|--------------|----->
x          -3         -1                4

eller

f'(x)   +   0    -    0      +        0    -
-----------|---------|--------------|----->
x          -3         -1                4

Kun du kan afgøre, hvilken af de to muligheder, der er korrekt, da kun du har set den tilhørende graf.

#7 glemmer at tage højde for, at monotoniforholdene ikke nødvendigvis ændre sig, bare fordi der er et punkt med hældningen 0.

Der kan også være vandrette vendetangenter. Det vil altså sige, at hældningen efter at være blevet nul, vil fortsætte i samme retning. Det vil derfor ikke ændre på monotoniforholdene.

Men som #7 rigtigt siger, så er du lidt på egen hånd med hensyn til svaret, med mindre at du uploader et billede af grafen. 

Med hensyn til hvordan der skal besvares. Så ser mange lærer gerne noget lignende dette. 

Af grafen for den afledte funktion ses det, at funktionen f stiger i [x₁:x₂] og [x₃:x₄]

Og aftagende i [x₅:x₆]

Husk at det bare er et tænkt eksempel. Og husk, at vende de kantede paranteser rigtigt.

#10

Hvis du med "#7" mener "#9" (nummeret refererer til svarets nummer i tråden), så kan fortegnsvariationen kun have de to muligheder givet i #9, og der kan ikke være tale om en vandret vendetangent for denne funktion, da f'(x) er et 3.-gradspolynomium med tre forskellige rødder.

Bemærk, at det hedder "den afledede funktion", ikke "afledte".

#11
Ja. Du har ret. Jeg mente #9.. Jeg skal lige lærer hvordan og hvorledes herinde. Tak for rettelserne :)

Jeg kan godt se hvad du siger, men tænk nu hvis den afledede f'(x) har et toppunkt på x-aksen. Altså ved de omtalte "rødder". Det vil da, efter min logik, resultere i en vandret vendetangent for f(x). Jeg kan ikke se, hvorfor det ikke skulle være en mulighed.

#12

Det kan bare ikke være en mulighed for denne funktion. Det er givet, at f'(x) er et 3.-gradspolynomium med tre forskellige reelle rødder. Da er f''(x) ≠ 0 for hver af rødderne i f'(x) , og grafen for f selv kan derfor ikke have vandret vendetangent

#13

Hvor ser du at f''(x) ikke er lig 0, gældende for hver af rødderne for f'(x) ? Hvis det er tilfældet, kan jeg godt se, at du selvfølgelig har ret :)

#14

Det følger af, at f'(x) er et 3.-gradspolynomium med tre forskellige rødder. I dette tilfælde har f'(x) formen

      f'(x) = a·(x - r₁)·(x - r₂)·(x - r₃)       ,

hvor r₁, r₂, r₃ er de tre rødder (der alle er forskellige).

Dermed fås ved differentiation

      f''(x) = a·[ (x - r₂)·(x - r₃) + (x - r₁)·(x - r₃) + (x - r₁)·(x - r₂) ]       .

Heraf ses nu

      f''(r₁) = a·(r₁ - r₂)·(r₁ - r₃) ≠ 0 ,

      f''(r₂) = a·(r₂ - r₁)·(r₂ - r₃) ≠ 0 ,

      f''(r₃) = a·(r₃ - r₁)·(r₃ - r₂) ≠ 0 .