Differentialligningerne.

1) Man løser ligingen ved separaton af de variable:

∫ (1/(3t²+2)) dt = ∫ dx

2) Man fastlægger den stamfunktion, der opfylder begyndelsesbetingelsen:

y(x) = e^x + 5x + k ,

y(0) = 1 + k = 0 ⇒ k = -1

#1

1) Hvorfor skal 3t² + 2 blive divideret med 1? Altså 1/(3t² + 2)

2) Hmm.. OK. Se min påstand;

dy/dx = e^x + 5  ⇔  ∫(dy/dx) dx = ∫(e^x + 5) dx ⇔ y + K = e^x + 5x + K ⇔ y = e^x + 5x. Hvad gør jeg galt?

#2

1) Man separerer de variable, t på venstre side, x på højre side

(1/(3t²+2))·dt = dx

2) Det er ikke samme K på venstre og højre side, efter at du har integreret, og du kan derfor ikke bare smide den helt væk. De to arbitrære konstanter k₁ og k₂ konsolideres til een konstant k på højre side.

#3

Jeg tror, jeg kan følge lidt med nu. Det du har gjort, var at dividere med (3t² + 2) og ganget med dx på begge sider. Men, du skal lige vide, at jeg aldrig nogensinde har gennemgået sådan noget, altså prøvet at løse nogle ligninger ved 'separation af de variable'... Jeg har kun læst i bogen, at

dy/dx = g(y)·h(x), hvoraf den ukendte funktion y = f(x) skal findes.

Du har fuldstændig ret det med konstanter.

∫ (1/(3t²+2)) dt = ∫ dx  ⇔

(√(6) tan^-1(√(6)t / 2) / 6) + k₁ = x + k₂

Jeg brugte lommeregner til at integrere venstre side.

(√(6) tan^-1(√(6)t / 2) / 6) = x + K

hvor t'et isoleres

√(6) tan^-1(√(6)t / 2) = 6(x + K)

tan^-1(√(6)t / 2) = 6(x + K)/√(6)

√(6)t / 2 = tan(6(x + K)/√(6))

√(6)t = 2·tan(6(x + K)/√(6))

t = 2·tan(6(x + K)/√(6))/√(6)

Er det så rigtigt nu? Det ser mærkeligt ud.

#6

Du kan jo prøve efter ved at indsætte løsningen i differentialligningen.

Jeg kan desværre ikke vide om det passer ... Beklager.

#8

Din løsning er

      t = 2·tan((x+K)√6) / √6 ,

så

      dt/dx = (2/√6)·(1 + tan²((x+K)√6)) · √6 = 2·(1 + tan²((x+K)√6))

mens

      3t² + 2 = 3·2²·tan²((x+K)√6)/6 + 2 = 2·tan²((x+K)√6) + 2

De to sider er identiske, så den angivne funktion er altså en løsning til differentialligningen.