Trigonometri - Cosinusrelationerne

Start med at lave en tegning og få overblik.

Trekantens tre vinkler kan beregnes ved hjælp af cosinusrelationerne i trekanten

Meridianen er side i en trekant, hvor man kender de to andre sider (5 og 8/2) og de to siders mellemliggende vinkel, så meridianen beregnes også ved hjælp af en cosinusrelation.

Til #1

Lad a = 5, b = 8, og c = 10 . Beregn nu meridianen m_b . Beregn først vinkel A :

cos(A) = (b² + c² -a²) / (2bc)

og beregn så m_b af

m_b² = c² + (b/2)² -2·c·(b/2)·cos(A)

         = c² + (b/2)² -(b² + c² -a²)/2

         = a²/2 + c²/2 -b²/4

   eller direkte
                         a = 5, b = 8, og c = 10

            
                        m_b = (1/2)·(2(a²+c²) - b²)^0,5           
 

    som er
    #2's
                     m_b² = a²/2 + c²/2 -b²/4                       multipliceret med 4

                     4m_b² = 2a² + 2c² - b²

                     (2m_b)² = 2(a² + c²) - b²

                      2m_b = (2(a² + c²) - b²)^0,5

                      m_b = (1/2)·(2(a² + c²) - b²)^0,5

til dine noter

                            m_a = (1/2)·(2(b² + c²) - a²)^0,5

                            m_b = (1/2)·(2(a² + c²) - b²)^0,5

                            m_c = (1/2)·(2(a² + b²) - c²)^0,5

                                                                                                           ^{når trekantens tre sider er kendt}

Tak skal i have for hjælpen :-) og til andersen111 der er allerede tegnet en skitse til opgaven ;) og skal man finde alle vinklerne først, også bruge arealformlerne tl at regne medianen??? 

og det er medianen jeg snakker om og ikk meridianen.

- medianen i en trekant er det linjestykke, der forbinder en vinkelspids med den modstående sides midtpunkt. Denne oplysning skal du bruge for at kunne udregne længden af m. 

og jeg til info har jeg Matematik på C-niveau :) jeg vil bare gerne have svar fra nogle der virkelig ved noget om mat. :D

    ...så får du ingen bedre end Andersen11 om end han i astronomisk hastværk fik tastet
                                                                       en sjælden fejl me(ri)dianen m_b
                                                               

#9

Jeg takker lige for korrektionen. Ja, det hedder da medianerne i trekanten. Jeg beklager fejltagelsen.

#6

Man skal ikke beregne alle vinklerne, som det vel også fremgår af #2. Beregningen af cos(A) indgår som en mellemregning ved beregningen af m_b ; men man ender jo med et udtryk for m_b, hvori kun indgår de tre sidelængder i trekanten.

Det går nok alle kan fejle ;)  

er det den her medianformel jeg skal bruge, da det er på siden a den rammer? :-)

ma = (1/2)·(2(b2 + c2) - a2)0,5

#11

Jeg foreslog betegnelserne a = 5, b = 8, og c = 10 i #2. Da man skal finde medianen til siden med længden 8, er det således medianen m_b , der skal bestemmes, og formlen hertil er givet i #2, #3, #4, og #5.

Men hvis man giver siderne andre betegnelser, skal man selvfølgelig benytte en tilsvarende justeret formel.

Nårh på den måde :D tusind tak for hjælpen

Vi regner vinkel A ud ved at bruge cosinusrelationen: cos(A)=b^2+c^2-a^2/2bc
nu indsætter vi tallene i stedet for bogstaverne, så vil det således ud: cos(A)=10^2+5^2-8^2/2·10·5. Dette giver resultatet: 61/100 = 0,61. Nu skal vi bruge vores konverter til at finde hvor stor vinklen A er: cos-1(0,61) = 52,41 grader. Nu skal vi bruge cosinusrelationen: a^2=b^2+c^2-2bc·cos(A) for at finde længden af medianen til siden a. Resultatet vil blive: 125-61= 64. Nu er jeg kommet frem til at længden af m vil være 64.

- ud fra jeres hjælp har jeg nu skrevet sådan her i min aflevering. Kan i lige sige om jeg har fået fat på det nu? :D

#14

Det er da helt ude i hampen at påstå, at en trekant med de tre sidelængder 5, 8 og 10 skulle have en median på 64.

Det hele er forklaret i #1. Genlæs også forklaringen i #10. Du finder ikke medianen m_a ved at benytte cosinusrelationen for siden a.

Igen: jeg foreslog betegnelserne a = 5, b = 8, og c = 10 i #2. Du er selvfølgelig velkommen til at benævne dem i en anden rækkefølge. Angiv da så i det mindste, hvorledes du har benævnt siderne.

Med disse betegnelser finder man

m_a = (√303)/2 ≈ 8,703

m_b = √(93/2) ≈ 6,819

m_c = √(39/2) ≈ 4,416

okay mange tak :-) jeg vil bruge de betegnelser du foreslår. Jeg tænkte nok der var noget galt der.. da jeg fik det til 64. 

Jeg har fundet ud af det nu ! :) rigtig mange gange tak for at i tog jer tid til at hjælpe :D