trancendent (pi)

Her er et billede af enhedscirklen og et kvadrat af længde sqrt(pi). Hvorfor kan kvadratet ikke konstrueres? Uddyb gerne.

http://en.wikipedia.org/wiki/Squaring_the_circle

Cirklens kvadratur drejer sig om ved brug af passer og lineal alene i et endeligt antal skridt at konstruere et liniestykke, hvis længde er √π gange længden af et givet liniestykke.

Ud fra det givne liniestykke kan man let konstruere liniestykker, hvis længder er ethvert naturligt tal (i enheder af det givne liniestykkes længde), og hvis længder er ethvert positivt rationalt tal ( i samme længdeenhed).

Ved at involvere skæring mellem liniestykker og cirkler, som kan konstrueres i et endeligt skridt ud fra det givne liniestykke, kan man vise, at længderne af alle de liniestykker, vi kan konstruere i et endeligt antal skridt på denne måde, vil være rod i et polynomium med hele eller rationale koefficienter. Mængden af tal, der er rødder i sådanne polynomier, kaldes mængden af de algebraiske tal.

I 1882 viste den tyske matematiker Ferdinand von Lindemann, at tallet π (og dermed også √π) er et transcendent tal, det vil sige et tal, der ikke er algebraisk. Dermed var det endegyldigt bevist, at cirklens kvadratur er umulig med passer og lineal.

I gymnasiet beviste læreren den velkendte formel A=pi*r^2 ved at inddele cirklen i uendelig mange små trekanter, men dette argument er jo ikke glydigt, da cirklens kvadratur er en umulighed, ikke?

#3

Det har ikke noget med cirklens kvadratur at gøre. Cirklens kvadratur drejer sig om konstruktion med passer og lineal.