Integral

Er det et ubestemt integral, eller er der grænser på integralet?

det er fra - uendelig til uendelig

#2

Det er jo en ret så væsentlig detalje. Da cos(x) er en lige funktion, 1/(1+x²) er en lige funktion, og sin(x) er en ulige funktion, fås så

_-∞∫^∞ e^ix/(1+x²) dx = 2 · ₀∫^∞ cos(x)/(1+x²) dx = π / e

Det kan beregnes ved hjælp af kompleks funktionsteori.

Til #3.

At integralet har den anførte værdi vises ved brug af residuesætningen for komplekse funktioner.

Funktionen

f(z) = e^iz / (1 + z²) , z ∈ C \ {i , -i}

har en simpel pol for z₀ = i og for z₀ = -i . Da nu

f(z) = e^iz / ((1 +iz)(1 -iz)) = e^iz / ((z -i)(z +i))

har vi for polen z₀ = i

Res(f(z)) = e^-1 / (2i) .

Indføres vi nu en lukket kurve, langs x-aksen fra -R til R og så ad den øvre halvcirkel med centrum i 0 med radius R tilbage til udgangspunktet, vil kurven omslutte polen z₀ = i , hvis R > 1 , og vi har derfor

Lader man nu R →∞ , kan man vise, integralet langs halvcirklen går mod 0 , mens integralet langs x-aksen går mod det søgte integral, hvorfor vi har