Matematik
Differentialligning, HJÆLP!
I en beholder med vand er vandhøjden 0,5m. der åbnes for en bundventil for at tømme beholderen. Vandhøjden y, målt i meter, kan nu beskrives som en funktion af tiden t, målt i sekunder. Under tømningen aftager vandhøjden på en sådan måde, at den hastighed, hvormed vandhøjden ændrer sig, til ethvert tidspunkt er proportional med kvadratroden af vandhøjden, Med de valgte enheder er proportionalitetsfaktorens værdi -0,04. Vandhøjden som funktion af tiden er således fastlagt ved en differentialligning.
Opskriv denne differentialligning, og bestem den tid det tager at tømme beholderen...
Hjælp! Er gået i stå!
Svar #1
11. marts 2012 af peter lind
dh/dt = k*kvrod(h). brug separation af variable eller et CAS værktøj til at løse ligningen
Svar #2
11. marts 2012 af EmNy (Slettet)
Jeg forstår det stadig ikke helt :S . Kan du forklare nærmere?
Jeg bruger CAS-værktøj.
Svar #3
11. marts 2012 af peter lind
Hastigheden som vandsøjlen ændrer sig med er dh/dt. At den er proportional med kvrod(h) betyder at den kan skrives som konstant*kvrod(h)
Svar #4
11. marts 2012 af Erik Morsing (Slettet)
Tooricellis lov siger, at hastigheden af vandet, der løber ud fra en beholder kan skrives v = 0,6*√(2*g*h). De 0,6 er en kontraktionsfaktor, der skyldes, at vandstrålen "spidser til", når den kommer ud. Vi kan nu skrive dV = k*v*dt, hvor k er tværsnitsarealet på studsen. Her får du af din differentialligning dV = -0,04*√h dt . Ændringen i volumenmængden kan man skrive som dV=π*r2dh, hvis der er tale om en konisk eller cylindrisk beholder. Din opgave bliver at finde dh/dt, så du skal finde dV udtrykt ved h
Svar #5
11. marts 2012 af mathon
dh/dt = -0,04·√(h)
1/√(h) dh = -0,04·dt
∫1/√(h) dh = ∫-0,04·dt
∫1/(2√(h)) dh = ∫-0,02·dt
√(h) = -0,02·t + k og h(0) = 0,5
√(0,5) = -0,02·0 + k
√(0,5) = k
√(h) = -0,02·t + √(0,5)
h(t) = (-0,02·t + √(0,5))2
h(ttømt) = (-0,02·t + √(0,5))2 = 0
-0,02·t + √(0,5) = 0
t = √(0,5) / 0,02 = 35,36 s
Skriv et svar til: Differentialligning, HJÆLP!
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.