differentialligninger

Man skal løse differentialligningen

0,4·y' + 10y = 9 , dvs

0,4·y' = 9 -10y = -10·(y - 0,9) , eller

0,4·(y -0,9)' = -10·(y - 0,9) , eller

(y - 0,9)' = -25·(y - 0,9) ,

som er af formen

u' = a·u ,

der har løsningen

u(t) = c·e^at

hvordan kan du se at den er af formen u' = a*u ?

Det kan jeg ik¨ke forstå hvordan man kommer frem til.

Det er heller ikke så let at forstå. Udgangspunktet er den lineæe 1. ordens homogene ligning (de hvor højresiden er 0). Den har en løsning med e^{noget med x}. Man ser så på et begreb, der hedder eksakte differentialligninger og prøver at finde en en integrationsfaktorm, der afhænger af x, så man kan skrive den på en bestemt måde. Kan man det, kan man også separere de variable og integrere, og så finder man løsningen F(x) = e^hx, hvor h(x)=∫f(x)dx.

Du er derfor nødt til at læse om eksakte differentialligninger og integrationsfaktorer, før du forstår det. Men alt dette her hører ikke til gymnasiepensum, gjorde i hvert tilfælde ikke på min tid.

#2

Forstår du, hvordan ligningen

(y - 0,9)' = -25·(y - 0,9)

fremkommer?

Sætter man u = y - 0,9 , ser man, at

u' = -25·u ,

dvs en differentialligning af formen

u' = a·u

med a = -25.

#3

Morsing -- differentialligninger er blevet en del af pensum i gymnasiet på et eller flere af matematikniveauerne.

nå ok, så ved jeg det

hhmm ikke rigtigt. Vi har bare lært at differentialligninger kan være af typen

y' = k*y

y' = ce^kx

y' = b/a + ce^-ax osv...

men det er ikke en af disse tre eller hvad?

troede faktisk den var af typen y' = ky med løsningen y = ce^kx

Men det er måske forkert.

Jeg får resultatet til at være I(t) = -0,9*e^(-25t) + 0,9

#6

Det er jo netop en differentialligning af typen y' = ky , som det også er nævnt i #1 .

Så løsningen er

I(t) - 0,9 = c·e^-25t

og da I(0) = 0 , finder man c = -0,9 , svarende til din løsning.