differentiabilitet

et vilkårligt andetgradsoolynomium kan skrives f(x) = a*x²+b*x+c

Vis at (f(x+h)-f(x) )/h har en grænseværdi for h -> 0

Det er ikke svært.

Forestil dig du har en funktion y = f(x).  Den funktion ønsker du at finde en tangent t til. Det der kendetegner en tangent t er, at den kun skære funktionen i et punkt P

. Du ønsker at finde hældningen for denne tangent, men har kun et punkt. Derfor bygger du et ekstra punkt  Q. Derefter bygger du en linje mellem disse to punkter kaldet s. Denne linje kaldes også for sekanten.

hældningen for sekanten udtrykkes

. Da du går en fast størrelse hen af x-aksen kaldet h, så kan m udtrykkes

Ved at lade h blive mindre og mindre og nærme sig nul, så vil sekanten nærme hældningen for tangenten.

dette udtrykkes som

Hvilket er definition for den afledte af f is punktet

Tak for hjælpen! Prøver mig lidt frem.

Det ekstra punkt, som man bygger sekanten med sidder et andet sted på funktionen ikke? og så når det nærmer sig 0, kommer sekanten så ikke til at ligne tangenten mere og mere? 

du ser på et vilkårligt 2.grads-polynom 

 og for at finde ud om det har en afledt så skal du først finde ud af om f'' eksistere.

For at f skal være differentiabel ved

, så kræver det at den er kontinuer ved dette punkt.

det vil sige den skal overholde

, hvis , så betyder det at f er differentiabel i dette punkt og dermed eksistere den afledte.

Med det skrevet bag øret, så kan vi anvende defintionen i #2.

Du har hermed bevist at et vilkårligt 2-gradspolynom

er differentiabel i punktet og det har den afledte