Monotoniforhold

Funktionen er f(x) = ln(x) / x , og man skal løse ligningen

f '(x) = 0 , dvs

(1 - ln(x)) / x² = 0 , eller

ln(x) = 1 , eller

x = e .

Det er forkert at sige, at monotoniforholdet er e . Ligningen f '(x) = 0 har løsningen x = e . Man skal så undersøge fortegnsvariationen for f '(x) yderligere for at bestemme monotoniforholdene for funktionen f(x) .

Monotoniforholdet er ikke et tal men er angivelse af i hvilken intervalle funktionen er voksendende og i hvilken intervaller funktionen er aftagende. Løsninger til ligningen f'(x) = 0 angiver mulige endepunktsintervaller. At  løsningen til f'(x) = 0 er e angiver at monotoniintervallerne er ]0; e [ og ]e; ∞[

Da vi ved at x er større end 0, er det så derfor at det første monotoniinterval er fra 0 til e?

Da f '(x) er posotovt for x i intervallet, så er f(x) voksende i intervallet? Det vil vel sige, at funktionen udelukkende er voksende 

funktionen har toppunkt i x=e. Derfor er funktionens y-værdi voksende fra x tilhører ]0;e[ og aftagende fra x tilhører ]e;uendeligt[

#3

Funktionen f(x) er kun defineret for x > 0 .  Man finder f '(x) > 0 for 0 < x < e, og f '(x) < 0 for x > e . Funktionen f(x) er derfor voksende i intervallet ]0 ; e[ og aftagende for x > e , og funktionen har globalt maksimum for x = e .

Hej alle sammen jeg arbejder nu videre med opgaven og næste spørgsmål lyder: Grafen for f , koordinatsystemets førsteakse og linjen med ligningen x = 10 afgrænser enpunktmængde M, der har et areal.

b) Bestem arealet af M.

Jeg har kigget mine matematikbøger igennem, men har endnu ikke fundet ud af hvordan jeg skal gøre.? Er der en derude et sted der kan hjælpe?

#7

Løs først ligningen f(x₀) = 0 og beregn så integralet

A(M) = _x0∫¹⁰ f(x) dx

Jeg forsøget at løse ligningen vha. mit cas-værktøj, men det kan ikke lade sige gøre :/

Når du skriver jeg skal løse ligningen f(x₀), mener du så ikke bare at jeg skal indsætte 0 i f(x). Således at der står nul på x's plads. 

#9

Man skal løse ligningen

ln(x₀) / x₀ = 0 , x₀ > 0

Den behøver man da ikke CAS-værktøj for at løse. Da x₀ > 0, er ligningen ensgyldig med

ln(x₀) = 0 , x₀ > 0 .

#10

Nej. Jeg mener, at du skal løse ligningen f(x₀) = 0 . Man skal finde det x₀, der tilfredsstiller ligningen.

Jeg tror jeg har løst ligeningen korrekt sådanne? 

#13

Ja, det er korrekt; men det behøver man da ikke bruge CAS-værktøj til. Det drejer sig om at løse ligningen

ln(x₀) = 0 , x₀ > 0

Ja jeg kan godt se nu, at det var lidt pjattet. 

Jeg får nu arealet til 2,56. Kan du fortælle mig om det er korrekt? :)

#15

Tror du ikke på din lommeregner? Prøv at regne det efter uden brug af hjælpemidler. Angiv først den eksakte værdi af integralet.

i din vedlagte fil får du 2,65095 ; det er ikke lig med 2,56 .

Man finder

₁∫¹⁰ (ln(x) / x) dx = ₁∫¹⁰ ln(x) d(ln(x)) = [ (1/2)·(ln(x))² ]¹⁰₁ = (1/2)·(ln(10))² ≈ 2,650949