F'(x)

Det betyder at den nedre grænse for integralet er a og den øvre grænse er b. I almindelighed bliver resultatet et reelt tal og ikke nødvendigvis et rationalt eller helt tal. Har du nogen problemer med det ?

Man skal beregne

_a∫^b √(1 + f '(x)²) dx ,

hvor man husker parenteserne. Med x∈[a;b] angives blot, at funktionen f(x) er defineret på intervallet [a;b] .

ok tak . er der en der vil være så rar at vise mig et eksempel med tal ?

f(x) = x    f'(x) = 1.   0 ≤ x ≤ 1

∫₀¹ kvrod(1+1²) dx = ∫₀¹ kvrod(2) dx = [kvrod(2)x]₀¹ = kvrod(2)

Hvis du tegnede linjestykket op vil du se at det er hypotenusen i en retvinklet trekant med kateternes længde 1. Det giver som bekendt lige netop kvrod(2)

ok jeg kan godt se at det er kvadratrod 2 men hvorfor siger du 1+1² når der står f'(x) = 1.   0 ≤ x ≤ 1  for det betyder vel at f'(x) =  er defineret på intervallet 0 til 1 og der er jo mange tal ?

#5

I eksemplet er f '(x) = 1 for ethvert x . Derfor er 1 + f '(x)² = 1 + 1² = 2 , og dermed er √(1 + f '(x)²) = √2 . Integralet af en konstant k over et interval [a;b] er som bekendt k·(b-a) .

så hver gang jeg har a og b skal de altså bare trækkes fra hinanden ?

f.eks.

 Længden af en kurve givet ved funktionen ,f fra  a  til b , kan her beregnes som integralet fra a til b af
√1+f '(x)2dx hvor x∈[a;b]. hvor a = 10 og b =15

->
 

₁₀∫¹⁵ √(1 + f '(10)²) dx ?

og så er jeg lidt i tvivl om 1 skal slettes?

#7

Du skal ikke sætte integranden til en konstant eller slette noget 1-tal. Der er tale om at beregne integralet

_a∫^b √(1 + f '(x)²) dx

som det også blev beskrevet i #2.

Hvis buelængden skal beregnes for grafen af funktionen f(x) fra x = 10 til x = 15 , bliver integralet jo så

₁₀∫¹⁵ √(1 + f '(x)²) dx .

Man skal så her bestemme en stamfunktion for funktionen √(1 + f '(x)²) .

ok