Hjælp til kvadratkomplettering

Lav ligningerne om til cirklens ligning af formen

(x-x0)^2  + (y-y0)^2  =  K                  , hvor cirklens centrum er (x0, y0)  og K=radius^2

Kan du uddybe?

Eksempel:  Brug formlen for kvadratet på en toleddet størrelse. (x-a)²   =  x² + a² - 2ax

opgave a giver f.eks. (x-2)²  + ....   Læg mærke til at denne lægger 2² for meget til. Dette skal altså trækkes fra, så det giver   (x-2)² - 2²  + (y-3)²  - 3²  =  -9

Til sidst samles almindelige tal på højresiden, og man har så radius²

#1

Det er ikke alle de nævnte ligninger, der er ligning for en cirkel.

Man skal benytte, at

a·x² + bx = a·(x² + (b/a)x) = a·(x² + 2·(b/(2a))x + (b/(2a))²) - a·(b/(2a))²

                                             = a·(x + (b/(2a)))² - b²/(4a)

med en tilsvarende fremgangsmåde for leddene med y.

# 4

Tre af dem er -  og den fjerde. opg. b er vel nok en tastefejl?

husk at hvis der f.eks. står x²+ 8x , kan det betragtes som (x-(-4))² - 16

#5

Jeg er enig i, at b) er en tastefejl, nok for

b)  4x² -16x +9y² -54y = -61

og dermed er b), c) og d) jo netop ikke ligninger for cirkler, men for ellipser.

Mit overemne er ellipser, så betyder det at det ikke stemmer overens med "singlefyrens" første kommentar, og skal regnes ud på en anden måde?

#7

Man skal stadig kvadratkomplettere leddene med x for sig og leddene med y for sig. jeg ville blot have på plads, at der ikke kun var tale om ligninger for cirkler.

I stykket b) har vi

4x² -16x +9y² -54y = -61 , dvs

4·(x² -4x) + 9·(y² -6y) = -61, eller

4·(x² -4x +4) -4·4 +9·(y² -6y +9) -9·9 = -61 , eller

4·(x -2)² + 9·(y -3)² = -61 +16 +81 = 36 , og dermed

(x-2)²/9 + (y -3)²/4 = 1 , eller

(x-2)²/3² + (y -3)²/2² = 1

2                    2              
          (x - 2)  - ^(2, 2) + (y - 3)  - ^(3, 2) = -9

                      2          2              
               (x - 2)  + (y - 3)  = +(-9, 4) + 9

                           2          2   
                    (x - 2)  + (y - 3)  = 4

Nu kan vi så finde centrum:

                           C = (2, 3)
Og radius findes:

R =
                        "sqrt(4) = (2)"

Passer dette? Det er a'eren

Og i b'eren hvad giver centrum og radius?

#10

a) x² -4x +y² -6y = -9 , giver

(x -2)² -2² + (y -3)² -3² = -9 eller

(x -2)² + (y -3)² = 2² , dvs en cirkel med centrum C(2;3), radius r= 2

b) (se #8) Dette er en ellipse med centrum C(2;3) og halve akser a = 3 og b = 2.

Ja Andersen har ret.

opg. a kan skrives som

(x-2)²/2² + (y -3)²/2² = 1

11'eren stemmer overens med det jeg har skrevet i a'eren. Men jeg fik centrum i a'eren til netop at være 2,3. 

Og i c'eren kan det passe at det giver 6?

#14

Centrum for a) i #11 er jo også angivet til C(2;3) .

c) Hvad giver 6? Ligningen i c) er ligningen for en ellipse.

er c'eren rigtig:

c)
" 4 x^(2)+8 x+y^(2)-2 y=11    4*(x^(2)+2 x)+y^(2)-2 y=11 

   4*((x+1)^(2)-1)+(y-1)^(2)-1=11  4*(x+1)^(2)-4+(y-1)^(2)-1=11

    4*(x+1)^(2)+(y-1)^(2)=15  ((x+1)^(2))/(15/(4))+((y-1)^(2))/(\

  15)=1"

Så centrum er: (-1,1)

R=
                            sqrt(1)
= 1

#16

Igen: Ligningen i c) er ligningen for en ellipse, der i dette tilfælde ikke er en cirkel. Det har derfor ikke mening at tale om dens radius.

Vi har

4x² +8x +y²- 2y = 11 , dvs

4(x² +2x) + y² -2y = 11 , eller

4·(x +1)² + ( y -1)² = 11 + 4 + 1 = 16 = 4² , og dermed

(x + 1)² / 2² + (y - 1)² / 4² = 1

Der er altså tale om en ellipse med centrum C(-1;1) og med halvakser a = 2 og b = 4 .

Prøv at skrive dine udregninger mere overskueligt. Man kan jo drukne det helt i et morads af parenteser, som det er vanskeligt at gennemskue. Benyt redigeringsfaciliteterne her til at g8re det mere overskueligt; benyt knapperne X₂ til at lave indeks og X² til at lave eksponenter.

Ja okay, tak for hjælpen

d)

"25 x^(2)-50 x+9 y^(2)+36 y=-86  25*(x^(2)-2 x)+9*(y^(2)+4

   y)=-86  25*((x-1^())^(2)+1)+9*((y+2)^(2)-2)=-86  25*(x-1)^(2)\

  -25+(y+2)^(2)-18=-86    25*(x-1)+(y+2)^(2)=-86 +25+18 = -43 

   ((x-1)^(2))/(-43/(25)) +((y+2)^(2))/(-43)= 1    

SÅ centrum er (1,-2)

Passer ovenstående? Opgave d

#18

Det ser jo underligt og uoverskueligt ud, når du ikke gider gøre dig den ulejlighed at skrive det læseligt og lave linieskift på passende steder, men bare copy-paster fra dit eget dokument.

Man finder jo her

25·(x-1)² + 9·(y+2)² = -25 ,

som er ligningen for den tomme mængde.

Tak for hjælpen, troede automatisk at den ville sætte det som det stod i maple.. Undskyld ulejligheden..

Jeg har derimod to spørgsmål mere,

1. Hvis du har styr på maple ved du hvordan man laver et koordinatsystem?

2. Jeg har fået et andet spørgsmål der hedder: 

Giv andre eksempler på ellipser, har du forslag til det? 
Har allerede defineret hvad en ellipse er mv. men synes spørgsmålet er en smule kringlet.

Tak for det i al fald!