Cylinderrør

Det er ikke et cylinderrør, men slangen kan med god tilnærmelse udstrækkes til en cylinder med en højde, der svarer til den samlede kurvelængde langs den stiplede midterlinie. På figuren betegner R radius i de to strært krummede cirkeldele, som slangen følger i starten og ved enden.

Det erv ikke en cylinder. Så skulle tværsnittet være en cirkel. R er krumningsradius

Kan man bruge Guldins regel nr. 2 for at finde rumfanget af stykket fra I til II?

Kan jeg bruge buelængden af mit stykke til noget? 

En hurtig, tilnærmet "vandslange"løsning består i at beregne den samlede kurvelængde langs midterlinien af slangen som foreslået i #1. Denne er

L = 2·2π·R₂₅₀·150º/360º + 2π·R₉₀₀·240º/360º = 2π·(5/6)·R₂₅₀ + 2π·(2/3)·R₉₀₀ = 5078,908mm,

hvor R₂₅₀ og R₉₀₀ betegner de to krumningsradier på 250mm hhv 900mm.

Det samlede indre rumfang i denne udstrakte slange er så

V_slange = π·r_i²·L ,

hvor r_i = 45mm er den indre radius i røret. Man finder så

V_slange = 32,31dm³ = 32,31L .

En mere stringent fremgangsmåde vil være at benytte udtrykket for rumfanget af en torus med indre tuberadius r og radius til tubens centrum R:

V_torus = πr²·2πR .

Røret i opgaven kan betragtes som sammensat af tre torusstykker, hvoraf de to i enderne er kongruente:

V_rør = 2·πr_i²·2πR₂₅₀·150º/360º + πr_i²·2πR₉₀₀·240º/360º

       = πr_i² · (2·2πR₂₅₀·150º/360º + 2πR₉₀₀·240º/360º)

Man ser ved sammenligning, at dette udtryk beregnes til præcis det samme som V_slange ovenfor.

Der står 18,654 L i facit. 

#6

Det skyldes jo så at jeg har regnet den store radius (kaldet R₉₀₀) til 900mm, men den skal jo kun være 450mm, altså i udtrykkene i #5 skal man bruge R₄₅₀ = 450mm i stedet for R₉₀₀. Endvidere er vinkeldelene for kurvestykkerne med R₂₅₀ ikke 2·150º, men 2·120º = 240º. Udtrykkene skal derfor være

L = 2·2π·R₂₅₀·120º/360º + 2π·R₄₅₀·240º/360º = 2π·(2/3)·R₂₅₀ + 2π·(2/3)·R₄₅₀

Så får man

L = 2π·(2/3)·R₂₅₀ + 2π·(2/3)·R₄₅₀ = 2932.153mm

og dermed

V_slange = π·r_i²·L = 18,654dm³

I formuleringen med torus, bliver udtrykket så

V_rør = 2·πr_i²·2πR₂₅₀·120º/360º + πr_i²·2πR₄₅₀·240º/360º

       = πr_i² · (2·2πR₂₅₀·120º/360º + 2πR₄₅₀·240º/360º)

Okay,

men hvilken formel bruger du ved højresiden af L?

Jeg mener, har du brugt en specifik formel for en specifik figur ?

#8

Jeg forstår ikke, hvad du mener her? Det er forklaret i #5 (med korrektionerne i #7). Man beregner den samlede buelængde langs midterlinien af slangen. Midterlinien består af tre dele, der hver er en del af en cirkel. Man bestemmer derfor, hvor stor en centervinkel hver cirkeldel spænder over, idet 360º svarer til hele cirklens omkreds.

Den første del af slangen er en del af en cirkel med radius R₂₅₀ = 250mm med en centervinkel på 120º.

Den næste del af slangen er en del af en cirkel med radius R₄₅₀ = 450mm med en centervinkel på 180º+2·30º = 240º.

Den sidste del af slangen er kongruent med den første del.

Det var faktisk lige netop det jeg havde brug for.