Differentialligning

Løs differentialligningen

y' = 0,03 · (g(t) - y) , hvor g(t) = 20 + 0,25 · t .

Benyt den færdige løsningsformel for lineære differentialligninger af 1. orden ("panserformlen").

Du skal samle alt med y på venstre side. Brug dernæst panserformel eller hvis det er tilladt et CAS værktøj

Panserformlen tager vel nogen forskellige skikkelser afhængigt af den sammenhæng den skal benyttes i, således at man skal finde den som ligninger, i det her tilfælde y' = 0,03 · ((20 + 0,25 · t) - y), hvilket er f'(x) = x · f(x). Eller er det korrekt forstået?

Eller y' + f(x)·y = f(x)

#3

Panserformlen tager vel altid samme skikkelse. Det drejer sig om at omskrive den aktuelle differentialligning, således at man kan aflæse de forskellige funktioner, der skal indsættes i panserformlen. Skriver man differentialligningen på formen

y ' + p(x)·y = q(x) ,

fås løsningen som

y(x) = e^-P(x) · (∫e^P(x) q(x) dx + c) , hvor P(x) = ∫p(x) dx er et integral til p(x) , og c er en arbitrær konstant.

Det vil sige at f(x) får formen y' = ay · y = h(x) der omformes til y = e^-ax · ∫ h(x) · e^ax dx. Og så skal man ud fra ligningen     y' = 0,03 · ((20 + 0,25 · t) - y) aflæses nogen værdier, som skal indsættes i f(x)?   

#6

Jeg ved ikke, hvad det er, som du kalder f(x) i dette.

Differentialligningen har formen

y' + 0,03·y = 0,03·g(t)

Benytter man nomenklaturen i #5, har man p(t) = 0,03 og q(t) = 0,03·g(t) = 0,60 + 0,0075·t , dvs

y(t) = e^-0,03t · (∫e^0,03t · (0,60 + 0,0075·t) dt + c)

Hvis jeg tager udgangspunkt i en anden opgave, hvor f(x) allerede er fundet

y = x · y' - x²     og     f(x) = x² - 3x

så er det meget let med at man indsætter f'(x) og f(x) i ligningen

x² - 3x = x · (2x - 3) - x² ⇔ x² - 3x = x² - 3x 

Hvordan man lige finder f(x) hvis ikke den er opgivet i opgaven har jeg ikke helt fundet ud af.

#8

Det er jo netop det, som den færdige løsningsformel ("panserformlen") i #5 går ud på. Man benytter den til at nedskrive den færdige løsning.

Skal jeg så integrerer (∫e^0,03t · (0,60 + 0,0075·t) dt. ?

#10

Ja, det er jo det, som et integral indebærer. Man skal finde en stamfunktion til den funktion, der er under integraltegnet.

Så får jeg et besynderligt resultat:

y(t) = e^-0,03t · [(-0,25t - 28,3333) · (0,970446)^t]

Kan det være rigtigt og hvad skal jeg bruge det til?

Jeg kan ikke se du på nogen mulig måde kan få 0,970446^t.  Hvad har du gjort ?

Jeg integrere (∫e^-0,03t · (0,60 + 0,0075t)

#14

Man skal benytte, at

∫ t·e^at dt = ((1/a)·t - (1/a²))·e^at  + k

Så ligner det at man skal integrere ∫ t·e^-0,03tdt = ((1/0,03)·t - (1/0,03²))·e^0,03t + k. Det giver slet ikke mening. Jeg har ikke nogen ide om hvordan jeg finder frem til den funktion.  

Hvis jeg skal beregne det på lommeregneren så indtastes det deSolve(y'=0,03·((0,60+0,0075t-y) = e^0,03t,t)

Eller mere præcist deSolve(0,03·((20+0,25t)-y)=e^0,03t,t,y)

#16

Man finder, fra #7,

y(t) = e^-0,03t · (∫e^0,03t · (0,60 + 0,0075·t) dt + c)

      = e^-0,03t · ((0,60/0,03) · e^0,03t + 0,0075 · ∫t·e^0,03t dt + c)

      = 20 + 0,0075·e^-0,03t · ((1/0,03)t -(1/0,03)²)·e^0,03t + c·e^-0,03t

      = 20 + t/4 - (25/3) + c·e^-0,03t

      = (35/3) + t/4 + c·e^-0,03t

Den ligning der bruges, er det

Den fuldstændige differentialligning

y' + ay = h(x)

og

y = e^-ax·∫h(x)·e^axdx

Her undre det mig blot at der står dx til sidst, hvor du skriver dt.