differentialligning

Gæt på en funktion af formen y = c*xⁿ

Okay, så finder jeg y=cx^2/3 hvoraf man finder at k = -2/9c. Et par ting undrede mig dog:
Det ser ud til at løsningen er entydigt bestemt så snart k er givet. Plejer en andenordens differentialligning ikke at kræve to begyndelsesbetingelser, f.eks. y(0)=a, y'(0)=b?
Og giver denne gættemetode den fuldstændige løsning?

Jeg ved godt jeg bad om den nemmeste løsning, men nu blev jeg pludselig mere nysgerrig :) 

Du har ret i at der skal være 2 integrationskonstanter. En af dem kan du få ved at gætte på c*(x-a)ⁿ i stedet for. Differentialligningen sværhedsgrad ligger meget over hvad man skal kunne i gymnasiet så det er tænkeligt at du blot skal bruge et CAS værktøj

#2

Der er ikke tale om en lineær differentialligning, så man kan ikke anvende resultater fra teorien for lineære differentialligninger på denne differentialligning.

Med den ovenstående løsning finder man k = -(2/9)·c³ .

c³? Hvorfra kommer potensen? Og hvorfra vil den anden integrations komme fra? 

#5

Med y = c·xⁿ har man y'' = c·n·(n-1)x^n-2 = k/y² = k·c^-2·x^-2n , dvs

k = c³·n·(n-1)·x^n-2

Hvis man vælger at integrere ligningen ved numerisk integration, kræver det en begyndelsesbetingelse for både y og y' . Det kunne så tyde på, at y = c·xⁿ ikke er den fuldstændige løsning til differentialligningen.

Under passende antagelser har vi, at

dy/dx = 1 / (dx/dy) , og dermed

d²y/dx² = -1 / (dx/dy)² · d²x/dy² · dy/dx = -1 / (dx/dy)³ · d²x/dy² .

En differentialligning af formen

d²y/dx² = F(y)

kan derfor skrives som en ligning i den omvendte funktion x(y):

d²x/dy² = -(dx/dy)³ · F(y) ,

der jo er en separabel differentialligning i u(y) = dx/dy :

du/dy = -u³ · F(y) , dvs.

- ∫ u^-3 du = ∫ F(y) dy , eller

u^-2 = ∫ F(y) dy + c₁ .

Heraf fås så

u = dx/dy = ±1 / [∫ F(y) dy + c₁]^1/2 ,

og dermed fås den generelle løsning for den inverse funktion

x = ± ∫ (1 / [∫ F(y) dy + c₁]^1/2) dy + c₂ .

Med F(y) = k/y² fås ∫ F(y) dy = -k/y, og dermed

x = ± ∫ (1 / [c₁ - k/y]^1/2) dy + c₂