Side 2 - Differentialligninger

#20

Ja, det kan vi godt se. Genlæs din opgave i #0.

#20 Det er h du skal finde

Hvad skal jeg så indsætte for t?

Det skal bare blive stående. Du skal finde h som funktion af t

Jeg har lige et sprøgsmål.

Jeg bruger jo sepperationsmetoden, hvor ved, at dh/dt = g(h) * f(t) er løsningen til ∫1/(g(h)) dh = ∫ f(t) dt

Men hvad er g(h) og f(t) ? 

g(h) = kvrod(h)

f(t) = -2/(25*π)

Det, jeg ikke forstår er, hvordan ∫h-1/2 dh = -2/(25π) ∫ 1 dt

bliver til 2*h^1,5 = -2/(25π) *t + k   

Jeg får 2*h^1,5 + k = -2/(25π) *t + k        Jeg får altså k på begge sider af lighedstegnet

Venstre side bliver 2*h^½. Hvorfor bliver du ved med den forkerte eksponent på 1,5 ?

Det er blot bekvemmest at samle konstanterne på højre side af hensyn til det næste. NB det behøver ikke være samme konstant på de 2 sider, så det hele kan samles til en enkelt konstant, som det her er bekvemmest at anbringe på højre side.

Super. Fik lavet opgaven :) 

Nu er jeg nået til keglen.

Jeg er gået i stå med keglen:

Jeg siger:

V = 1/3 * pi * r² * h

Jeg kender højden, h, som er 20 cm

10000 = 1/3 * pi * r² * 20 <=> r = 21,85     

Nu skal den maksimale tværsnitsareal findes ved brug af følgende formel (areal af cirkel):

A = r² * π   

A = 21,85² * π <=> A = 1500

Men jeg kan ikke komme videre.. 

Du skal finde arealet af et tværsnit  af keglen og det er ikke en konstant. Tegn et tværsnit af keglen, der går gennem symmetriaksen. Den vil danne 2 kongruente retvinklede trekanter. Den halve topvinkel kan findes som tan(v) = r₀/h₀ hvor r₀ er den største af radierne svarende til når den er fuld og h₀ er de 20 cm. r₀ er den radius, du har beregnet.  I højde højden h gælder at radius r for en given højde kan findes af tan(v) = r/h = r₀/h₀ Du kan også bruge ensvinklede trekanter til det. Du får så A(h) = πr² = π*r₀²*(h/h₀)²

Okay, jeg kan bare ikke komme videre. Har uploadet det, jeg har lavet

#33

Du har lavet nogle fejl i nogle steder. Fx

"Jeg ved, at √h = 1/h^1/2 = h^-1/2".

Hvis det ikke har noget med #0 at gøre, så skal du oprette en ny tråd med en ny opgave.

Ja, jeg har rettet det :) 

Altså jeg oprettet et nyt tråd, men fik at vide, at jeg ikke skulle. Nu er jeg lidt forvirret. 

Men ihvertfald - jeg har rettet mine fejl, og kan ikke komme videre med keglen. Har uploadet filen

#35

Det drejer sig jo stadig om den samme opgave. Så er det da mere forvirrende at starte en ny tråd, hvor du skal til at forklare det hele om igen.

For keglen skal man løse ligningen

dh/dt = -8·(√h) / A(h) ,

og det drejer sig derfor om at bestemme grundfladearealet A(h) for keglen. Keglens fulde højde er H = 20cm, og dens volumen er 10 Liter. For keglen er r/h konstant.

Okay, jeg har h = 20 og A(h) =1499,9

Skal jeg indsætte dem i 

dh/dt = -8·(√h) / A(h) ? 

Da V = 10000cm³ = (π/3)·H·R² ,

hvor H = 20cm er keglens højde, og R er radius i dens grundflade, har vi

R² = 3V/(πH) .

Når vandet har højden h i keglen, er dens radius r da givet ved r/h = R/H , og dermed er

A(h) = π·r² = π·(R/H)²·h² = π·3V/(πH)·h²/H² = 3V/H³ · h² = (15/4)·h² .

Løs nu differentialligningen.

#37

A(h) er ikke en konstant, men en funktion af h , og h er heller ikke en konstant; h er den øjeblikkelige højde af vandet i keglen. Du begik den samme fejl tidligere i opgaven. Se #38.

Okay, jeg forstå ikke helt, hvorfor du skriver:

A(h) = π·r² = π·(R/H)²·h²

Jeg vil da skrive:

A(h) = π * r² = π * (R/H)²  hvor kommer det sidste h² fra ? :)