Side 3 - Differentialligninger

#40

Det kommer jo fra, at r/h = R/H , hvor H er keglens højde, og R er radius i dens grundflade; h er vandstandens øjeblikkelige højde, og r er radius i den cirkulære vandoverflade, der svarer til højden h.

#38

A(h) = π·r² = π·(R/H)²·h²

= π·3V/(πH)·h²/H² = 3V/H3 · h² = (15/4)·h²     

Jeg kan ikke se, hvilke led, der skal divideres med hvad :/ Jeg forstår heller ik, hvor de kommer fra - altså det, der ikke er markeret. 

#42

Det er udledt i #38. Forstår du ikke, at r/h = R/H ? Det øjeblikkelige kegletværsnit er jo ensvinklet med keglens fulde tværsnit. Da keglen skal have et rumfang på 10 L = 10000 cm³, gælder der

V = (π/3)·H·R² , og dermed, at

(R/H)² = 3V/(πH) / H² = 3V/(πH³) .

Det øjeblikkelige tværsnitsareal er

A(h) = π·r² = π·(r/h)² · h² = π·(R/H)² · h² = π·3V/(πH³) · h² = 3V/H³ · h²

                    = 3·10000/20³ · h² = (30/8) · h² = (15/4) · h²

I de foregående indlæg har jeg omhyggeligt sat parenteser, hvor det er nødvendigt, og udtrykkene burde ikke kunne misforstås.

Nårh okay :)  

Min lærer gennemgik på tavlen noget med en trekant, som jeg har forstået lidt bedre. Filen er uploadet, så mn kan se, hvad idéen er med den :) Problemet er, at jeg ikka kan komme videre med den

Det der står med trekanten er jo det samme som både jeg og Andresen har skrevet.  Den eneste forskel er, at du har illustreret med en trekant, hvilket er vanskeligt at gøre her inde. Andersen har brugt det til at udregne A(h) flere gange senest i #43.  Jeg tr.or du skal læse det hele igennem en gang til. Det ser jo ud til at du har tabt overblikket

Jeg vil lige gør dig opmærksom på at din graf for h(t) for cylinderen er forkert idet intervallet er forkert. Det skal blive en del af en parabel. Iøvrigt giver det ikke nogen mening at tegne grafen for t < 0. Det er jo fra før vanduret er startet. Du bør også tegne den indtil h bliver 0

Da differentialligniner er et helt nyt emne for mig, som også virker lidt svært, kan jeg altså ikke helt finde ud af at løse differentialligningen:

(15/4) h²

Skal den løses vha. seperation af de variable metoden?

Så jeg får:

g(h) = 15 h og f(t) = 1/4 t

?

Det er jo ikke en differentialligning du skriver op. Differentialligningen er

dh/dt = -8√h/A(h) hvor A(h) = (15/4)h² . Sæt først Andersens beregning af A(h) ind i den ligning. Skriv det op. Dernæst skal du løse den ved brug af separation af variable

#46 Men skal jeg ikke til sidst indsætte den fundne konstant, og derefter isolerer mht. h? Det har jeg da gjort vha. Maple.

Nu har jeg prøvet  at beregne keglen. Men det ser altså ikke helt rigtig ud.. Har uploadet filen

Det er forkert. Du skal samle alt med h i g(h) så g(h) = √h/h² = ?

Forstået :) Tak

Jeg er nået til praboloiden :)

Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen y = 1/4 x²

Jeg finder den omvendte funktion, y = 2*√x

Jeg har fundet den maksimale højde:

V = pi * 0∫^b (2 * √x)² dx     , hvor b =  39,892   hvilket er den maksimale vandhøjde

Men er det sådan så, at jeg kan sige: r/h = R/H ?

#52

Nej, du skal finde grundfladens areal A(h) som funktion af vandstandens højde h. Her er h = y, og A(h) = π·x² ,

dvs

A(h) = π·x² = π·4y = 4π·h .

Indsæt nu det i differentialligningen og løs den.

Den maksimale højde H er så den parameter b, du fik løst dig til i den anden tråd.

Lige et hurtigt spørgsmål :) 

Jeg har fundet den omvendte funktion. Så burde højden da være x. Ikke?

#54

Nej, højden er da y, i udtrykket y = (1/4)·x² .

Okay, men er højden så ikke x i udtrykket y = 2 * √x ? :) 

Okay, det er ligegyldigt med #56 :)

Jeg kan bare ikke helt forstå, hvordan du får: A(h) = π·x² = π·4y = 4π·h   Altså hvordan du får 4y.. Er x² det samme som 4y ? Og hvorfor?

#57

x er radius i den cirkulære overflade for vandet i paraboloiden. Grundfladens areal er derfor π·x² . Vandstandens højde er y, dvs

h = y = (1/4)·x² ,

hvorfor A(h) = π·x² = π·4y = 4π·h .

x² er lig med 4y, fordi tværsnittet i paraboloiden har forskriften y = (1/4)·x² .

Okay, det forstår jeg.. Men lige så snart jeg prøver at finde h(t), får jeg et meget langt resultat.. Jeg har uploadet filen :)

Du laver den samme fejl som i forrige spørgsmål. g(h) skal indeholde alt med h så g(h) = √h/h