Differentialkvotienten af e^x

Du sjusker groft med parenteser. Det skal du passe på med. Dels gør det det svært at læse både for dig selv og andre og dels vil sådanne fejl i CAS værktøjer føre til forkerte resultater. Desuden kan jeg godt undvære de spørgsmålstegn. Jeg formoder det betyder Δ.

I tælleren har du e^x+Δx - e^x = e^x*e^Δx -e^x  = e^x(e^Δx-1)

Efter det sidste lighedstegn er e^x sat ud foran en parentes, Gang evt. e^x ind i parentesen som kontrol

Benyt i stedet, at ln er den omvendte funktion til e^x .

Vi har en sætning, der siger, at når f er monoton og kontinuert og differentiabel i x₀ med differentialkvotienten f ' (x₀) = a hvor a ≠ 0, da er f ^-1 differentiabel i f(x₀) = y₀  og  (f ^-1) ' (y₀) = 1 / a .

Brug da     (f ^-1) ' (y₀)  =  1 / f ' (x₀)   =  1 / ( f ' (f ^{- 1}(y₀)) ) .  Sæt f(x) = ln x

Fra 5. linje i dine mellemregninger ser forkert ud.

lim_Δx→0(Δy/Δx) = lim_Δx→0(e^x·(e^Δx-1)/Δx)

                         = lim_Δx→0 (e^x) · lim_Δx→0((e^Δx-1)/Δx)

                         =         e^x         ·           1

Tallet 1 kommer fra,   lim_Δx→0((e^Δx-1)/Δx) = 1

... hvor man ikke blot sætter 0 på Δx'ets plads - men at det skal komme tættere på 0,

kunne man sætte det til 0.1 eller endnu mindre (numærisk), derfor 

lim_Δx→0((e^Δx-1)/Δx) = (e^0.1-1)/0.1 ≈ 1