differentialligninger

er der ikke nogen der kan tage en lille kig på de 3 opgaver plzz.

a)-b), g) Enig.

c) Differentialligningen er logistisk. Sammenlign med d).

Nulløsningen er unødvendig at opskrive; den kan direkte ekskluderes på grundlag af oplysningen: y(0) = 2.

d) Overlades til dig at kontrollere.

e)-f): Separation af variable. Jeg formoder, at der i f) menes

dy/dx = e^(x-y) , y(1) = 0

Parentesen er da _ikke_ overflødig.

//Singularity

ok!
a,b og g er ok. men jeg kom lige il at tænke på at da vores lære løste en ligende opgave på tavlen som d) da brugte han ikke minus. altså
d)

y`= y*(7-0,001y) , y(0)=2

y`= y*(7-0,001y) <=>
y = 0 v y = (7/0,001)/(1+c*e^(-7*x))

Ved at indsætte punktet kan vi finde c:

2 = (7/0,001) / ( 1 + c * e^(-7*0)) <=>
2 = 7000 / (1+c*1)
7000 / 2 = 1+c
3499 = c

dvs at
y =(7/0,001)/(1+(3499)*e^(-7*x)) <=>

y = 7000 / (3500* e^(-7*x)) , Dm(y)=R

kan det passe eller er den i #1 rigtig:
------------------

havd angår opgave c så kan jeg ikke finde en formel så man ved hjælp af den kan regne det ud.
y`=0,02y*(30-y) , y(0)=10

skal man gange det der står foran paranteset med det der står inden for parantset. altså

y`=0,6y - 0,02y ^2 , y(0)=10 <=>
y`= y* (0,6 - 0,02 y) , y(0)=10

så kan man lave den ligesom d) når man har skrevet den lidt om.

y`= y* (0,6 - 0,02 y) <=>

y`=0 v Y`= (0,6/0,2)/(1+c*e^(-0,6*x))

Ved at indsætte punktet kan vi finde c:

10 = (0,6/0,2)/(1+c*e^(-0,6*0)) <=>
10 = 3/ (1+ c*1)
10 = 3 / (1+c)
3 / 10 = 1+c
0,3 - 1 =c
-0,7 = c

dvs at:
y=(0,6/0,2)/(1+(-0,7)*e^(-0,6*x)) <=>
y= 3/(0,3*e^(-0,6*x)), Dm(y)=R

kan det passe:

--------------------
havd der angår disse to opgaver så er jeg stadigvæk ikke med.

e) dy/dx = e^-y * sin(x) , y(0)=0
f) dy/dx= e^(x-y) , y(1)=0

#3:

d) Du laver en fæl brøler angående regnearternes hierarki. Dette er _forkert_:

1 + (3499)*e^(-7*x) = 3500*e^(-7*x)

Lad være med at forsøge at reducere nævneren.

c) Samme problem som i d). I øvrigt står der 0,02 i differentialligningen (!), så 0,6/0,2 er forkert.

Hvis du nøjes med at multiplicere faktoren 0,02 ind i parentesen, ender du med samme form som i d) i ét skridt:

y' = 0,02y*(30-y) = y*(0,6-0,02y)

e)-f) Du er forhåbentlig med på, at dy/dx blot er en anden notation for y'.

Bemærk, at i e) og f) har vi differentialligninger på formen

y' = g(x)*h(y)

altså et produkt af to funktioner, g og h, af én variabel (x hhv. y). Differentialligningen er derfor separabel, og separation af variable er standardmetoden til at håndtere den klasse af differentialligninger.

Det er selvsamme metode, efter hvilken du har løst begyndelsesværdiproblemet g) i det første indlæg.

//Singularity

Opgave e)

dy/dx = e^-y * sin(x) , y(0)=0 <=>

y`= e^-y * sin(x)

analysen:
hvad kan man skrive der?

Fra teorien haves:

Integralet af 1/g(y)*dy = integralet af h(x)*dx+c <=>
Integralet af 1/ e^-y *dy = integralet fra sin(x) *dx + c <=>
1/ e^-y = -cos(x) + c

bestemmelse af c:

1 / e^(-0) = -cos(0) +c
1 = -1 +c
2 = c

bestemmelse af y:

1 / e^-y = -cos(x)+2 <=>
e^-y = (1)/( -cos(x)+2) <=>
y = -ln ( -1 / -cos(x)-2)

Dm(y) = er det ikke R

----------------------------------

Opgave f)

dy/dx= e^(x-y) , y(1)=0 <=>
y`= e^(x-y) <=>
y`= e^x * e^-y

Analysen:
Hvad kan man skrive her:

Fra teorien haves:
Integralet af 1/g(y)*dy = integralet af h(x)*dx+c <=>
Integralet af 1/ e^-y *dy = integralet fra e^x *dx + c <=>
1/ e^-y = e^x + c

bestemmelse af c:
1/ e^-y = e^x + c <=>
1 / e^0 = e^1 + c <=>
1 = e^1 +c <=>
1-e^1 =c

bestemmelse af y:
1/ e^-y = e^x + c
1/ e^(-y) = e^(x) +1-e^(1)
e^-y = 1/ (e^(x) +1-e^(1))
y = -ln( 1 / e^x + 1 – e)

Dm(y) = er det ikke R

---------------------------------
d)

y`= y*(7-0,001y) , y(0)=2

y`= y*(7-0,001y) <=>
y = 0 v y = (7/0,001)/(1+c*e^(-7*x))

Ved at indsætte punktet kan vi finde c:

2 = (7/0,001) / ( 1 + c * e^(-7*0)) <=>
2 = 7000 / (1+c*1)
7000 / 2 = 1+c
3499 = c

dvs at
y =(7/0,001)/(1+(3499)*e^(-7*x))
Dm(y)=R

-------------------------------
c)
y`=0,6y - 0,02y ^2 , y(0)=10 <=>
y`= y* (0,6 - 0,02 y) , y(0)=10

så kan man lave den ligesom d) når man har skrevet den lidt om.

y`= y* (0,6 - 0,02 y) <=>

y`=0 v Y`= (0,6/0,02)/(1+c*e^(-0,6*x))

Ved at indsætte punktet kan vi finde c:

10 = (0,6/0,02)/(1+c*e^(-0,6*0)) <=>
10 = 30/ (1+ c*1)
10 = 30 / (1+c)
30 / 10 = 1+c
3 - 1 =c
2 = c

dvs at:
y=(0,6/0,02)/(1+(-0,7)*e^(-0,6*x)) <=>
y= 30 / ( 3 *e^(-0,6*x)), Dm(y)=R
passer det nu.
------------------------------------

håber at det er rigtigt nu.

#5:

ad e)
Du gør det unødvendig besværligt ved ikke at observere, at 1/e^(-y) = e^y.

Separation af variable giver derfor

S[e^y]dy = S[sin(x)]dx <=>

e^y = c - cos(x)

Integrationskonstanten c = 2, som du skriver. Den søgte løsning er derfor

y = ln[2 - cos(x)]

og eftersom cos(x)

ad f)
Igen: bemærk, at 1/e^(-y) = e^y. Kontrollér selv, at den søgte løsning er

y = ln[e^x + 1-e]

Definitionsmængden for y er _ikke_ R (!). Vi må forlange, at e^x + 1-e > 0. Eftervis selv, at

Dm(y) = ]ln(e-1); infty[

ad d)
Enig. Simplificér eventuelt tælleren, så

y = 7000/[1 + 3499*exp(-7x)]

ad c)
Du begår stadigvæk fejlen med regneoperationernes præcedens. Løsningen er

y = 30/[1 + 2*exp(-0,6x)]

//Singularity

c)
y`=0,02y*(30-y) , y(0)=10 <=>
y`=0,6y - 0,02y ^2 <=>
y`= y* (0,6 - 0,02 y)


y`= y* (0,6 - 0,02 y) <=>

y`=0 v Y`= (0,6/0,02)/(1+c*e^(-0,6*x))

Ved at indsætte punktet kan vi finde c:

10 = (0,6/0,02)/(1+c*e^(-0,6*0)) <=>
10 = 30/ (1+ c*1) <=>
10 = 30 / (1+c) <=>
30 / 10 = 1+c <=>
3 - 1 =c <=>
2 = c

dvs at:
y=(0,6/0,02)/(1+2*e^(-0,6*x))<=>
y=30 / (1+2*exp(-0,6'x) , Dm(y)=R

ok nu er jeg med på havd der var galt med c .Jeg så slet ikke at der stod gange efter 2 tallet og derfor lagede jeg det bare sammen og fik 3.

e og f kigger jeg lige på når jeg komer hjem fra skolen.

e)

dy/dx = e^-y * sin(x) , y(0)=0

y`= e^-y * sin(x)

fra teorien haves:

y`= e^-y * sin(x) <=>
S[1/g(y)*dy] = S[h(x) * dx +c] <=>
S[1/e^-y*dy] = S[sin(x) * dx + c] <=>
1/e^-y = -cos(x)+c<=>
e^y = -cos(x)+c

bestemmelse af c kan gøres ved at indsætte det givende punkt:

e^y = -cos(x)+c <=>
e^0 = -cos(0)+c <=>
1 = -1 + c <=>
2 = c

bestemmelse af f kan gøres ved at indsætte c:

e^y = -cos(x) + 2 <=>
y=ln(-cos(x)+2) , Dm(y) eftersom at cos(x)
--------------------------------------
f)
dy/dx = e^(x-y) , y(1)=0

y`=e^(x) * e^-y

fra teorien haves:

S[1/g(y)*dy] = S[h(x) * dx +c] <=>
S[1/e^-y*dy] = S[e^x * dx + c] <=>
1/e^-y = e^x+c <=>
e^y = e^x + c

bestemmelse af c kan gøres ved at indsætte det givende punkt:

e^y = e^x + c <=>
e^0 = e^1 + c<=>
1 = e^1 + c<=>
1- e^1 = c

bestemmelse af y kan gøres ved at indsætte c:
e^y = e^x + 1 – e^1
y = ln(e^x+1-e)

så ved jeg ikke hvordan man kan vise at Dm(y)=] ln(e-1) ; infty[
måske på den her måde:

e^x+1-e > 0
e^x > -1+e
x > ln(e – 1)
så ved jeg ikke helt hvad man kan gøre mere.

#8: Lige præcis, thi deraf følger det jo, at

Dm(y) = ]ln(e-1); infty[

//Singularity

ok tak for hjælpen:

lige et lille spørgsmål:
man skal ikke vise hvorfor Dm(y)=R i c og d vel.

#10: Det er vist rimelig trivielt at indse, hvis man bemærker, at eksponentialleddet er strengt positivt. Det må anses for velkendt.

//Singularity