Matematik
Bevis for tetraeder. HJÆLP
Hej
Jeg sidder med noget forberedelses til min matematik eksamen.
Der er givet en formel for det n'te tetraedertal som: (n(n+1)*(n+2))/2
Mit spøgsmål er, hvor kommer den formel fra?
Som hjælp får vi, at vide at produkterne 1*2*3, 2*3*4, generelt n*(n+1)*(n+2)
Disse produkter skulle vise sammenhængen mellem nogle kasser, eksempelvis har vi en kasse med højde 1, bredde 2 og længe 3, det er så produktet 1*2*3.
Derfor er der en sammenhæng mellem kassetallene og treakanttallene. Og derfor kan man bruge kassetal til at finde en formel for tetraedertal, som jo er summer af trekanttal.
Vi får at vide, at dette skulle fører os til beviset:
- Skriv det n'te kassetal op. Jeg får 1*2*3 , 2*3*4, 3*4*5 osv
- Skriv det (n-1)'te kassetal op. Her jeg usikker, men får n*(n-1)*(n-2) osv. n skal være større eller li med 2.
Så det bliver:
kn=n*(n+1)* (n+2)
kn-1= n*(n-1)* (n-2)
- Find forskellen
kn-kn-1 =(6*n*(n+1)/2 ?
Så er kn-kn-1 altså 6*Tn
Og Tn=(kn-kn-1)
- Ersatte hvert trekanttal med 1/6(kn-kn-1)
Det sidste forstår jeg slet ikke , falder helt fra. Nogen der vil hjælpe?
Det sidste giver ikke mening for mig overhovedet
Svar #1
21. maj 2012 af Andersen11 (Slettet)
Når du har formlen for kn = n·(n+1)·(n+2)/6 , finder man kn-1 ved at skrive (n-1) i stedet for n i formlen:
kn-1 = (n-1)·(n-1+1)·(n-1+2)/6 = (n-1)·n·(n+1)/6 .
Man ser så på differensen
kn - kn-1 = n·(n+1)·(n+2)/6 - (n-1)·n·(n+1)/6 = (1/6)·n·(n+1)·(n+2 - (n-1))
= (1/6)·n·(n+1)·3 = n·(n+1)/2 ,
som er det n'te trekanttal.
Svar #2
21. maj 2012 af sarahhas (Slettet)
Okey det kan jeg godt se.
Dvs. at finde trekanttal ville det somme som at finde forskellen på kn-kn-1
Altså at Tn=(kn-kn-1)= n·(n+1)/2
Ja den sidste ligning gælder (har efterprøvet det). Men Burde man så ikke også kunne finde trekantanttallene vha. kn-kn-1.
Jeg prøver, sætter n=3
T3=k3-k(3-1)=k3-k2
k3= 3*4*5= 60
k2= 2*3*4=24
T3= 60-24=36
-36 er ikke trekantstal for 3, men for 8? Hvordan kan det være?
- Det sidste spørgsmål er, at jeg burde ende med 1/6*Kn som tetraedertal. Hvordan?
- Jeg kan godt se, hvad dine beregninger fører os hen til. Men så har jeg ikke bevidst formlen for tetraedertal?
Svar #3
21. maj 2012 af Andersen11 (Slettet)
#2
Du benytter ikke den korrekte formel, da
kn = n·(n+1)·(n+2)/6 ,
så k3 = 10 , k2 = 4 , og k3 - k2 = 6 = 3·4/2 .
Svar #4
21. maj 2012 af sarahhas (Slettet)
Når okey, troede ellers man kunne bruger produkterne til at bestemme kn.
Jamen nu jeg med. Tak :)
Hvad med det sidste hvordan kommer tetraedertallet ind i billedet til at være 1/6*kn?
Svar #5
21. maj 2012 af Andersen11 (Slettet)
#4
Der er ikke tale om, at tetraedertallet er kn/6, men om at tetraedertallet er
kn = n·(n+1)·(n+2)/6
Svar #6
21. maj 2012 af sarahhas (Slettet)
Jamen i mit matieriale står der følgende:
Så er kn-kn-1 altså 6*Tn
Og Tn=(kn-kn-1)
Ersat hvert trekanttal med 1/6(kn-kn-1)
Får du, at det n'te tetraedertal er 1/6kn?
Svar #7
21. maj 2012 af Andersen11 (Slettet)
#6
Du kan ikke både have at kn - kn-1 = 6·Tn og samtidig have at det er lig med Tn . Det kommer så an på, hvorledes tallene defineres. Normalt er trekanttallene defineret ved
Tn = n·(n+1)/2 ,
og tetraedertallene defineres som
kn = ∑ni=1 Ti ,
hvor man så kan vise, at
kn = n·(n+1)·(n+2)/6 (*).
Det er et led i denne opgave, åbenbart, at vise, at hvis kn defineres ved udtrykket (*), så har man
kn - kn-1 = Tn
som vist i #1.
Svar #8
21. maj 2012 af Fali (Slettet)
Hej!
Jeg sidder med sammen opgave og forstår ikke hvorfor er kn = n·(n+1)·(n+2)/6 i #1, er det ikke formlen for tetraedretal?skal det ikke bare være kn = n·(n+1)·(n+2) som er formlen for kassetal?
Skriv et svar til: Bevis for tetraeder. HJÆLP
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.