Matematik
Arealfunktionen
Hej
Jeg er ved at forberede mig til mundtlig matematik-eksamen på A. Men jeg kom lige forbi sådan et spørgsmål, som jeg ikke ved hvordan jeg skal vise:
Vis at arealfunktionen A(x) hørende til f(x) er en stamfunktion til f(x)
Nogen der har nogen gode idéer?
Svar #1
09. juni 2012 af NejTilSvampe
Antag at vi har en voksende funktion f(x).
Hvis du gerne vil beregne arealet i intervallet [x0 ; x0+Δx] , kan du lave en god approksimation ved at beregne arealet af rektanglet:
A1 = f(x0)*(x0+Δx - x0) = f(x0)*Δx
Men du kunne også lave en udemærket approksimation ved at beregne arealet af rektanglet ved
A2 = f(x0+Δx)*(x0+Δx -x0) = f(x0+Δx)*Δx
Da f(x) er voksende, vil der så gælde at A1 ≥ A(x) , hvor A(x) er arealfunktionen.
Og der vil ligeledes gælde at A2 ≤ A(x).
Så :
A1 ≥ A(x) ≥ A2
f(x0)*Δx ≥ A(x) ≥ f(x0+Δx)*Δx
Del med Δx :
f(x0) ≥ A(x) / Δx ≥ f(x0+Δx)
Hvis vi så lader Δx --> 0 får vi:
f(x0) ≥ A'(x) ≥ f(x0)
Det er klart at A'(x) ikke BÅDE kan være støre og mindre end f(x0) på samme tid, så vi kan dermed vha. "squeeze theorem" konkludere at :
A'(x) = f(x0)
Og det må jo betyde at A(x) er en stamfunktion til f(x).
Svar #2
09. juni 2012 af NejTilSvampe
Jeg har vendt ulighedstegnene forkert, ups. Men princippet gælder stadig.
Skriv et svar til: Arealfunktionen
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.