f(x+y)=f(x)+f(y)?

nej.

Prøv f.eks. at sætte f(x) = x^2

og y = 2x og se om du får begge sider til at være ens.

#0: Kun for linære funktioner.

f(x) = x^2

f(x+y) = (x+y)^2 = x^2+y^2+2xy

passer eksempelvis ikke.

Det gælder, hvis f er en lineær funktion.

prøv med f(x) = 1/x

I hvilke funktion er det tale om de er det samme?

#4: Linære funktioner.

f.eks. f(x) = a·x

f(x+y) = a·(x+y)  = a·x + a·y  = f(x) + f(y)

#5 Spørgsmålet var til trådstarteren, #0. Man kan altså ikke svare på spørgsmålet, når man ikke aner hvilke funktion det er at tale om. Måske har han fået oplyst en funktion, som vi ikke kender til.

Hvis f(x) = ax+b

så   f(x+y) ≠ f(x) + f(y)

for  a(x+y) + b ≠ ax + b + ay + b = a(x+y) + 2b

Det er ikke det samme. Det gælder dog kun, hvis b = 0.

Lineære funktioner i denne forbindelse skal forstås som funktioner af formen f(x) = a·x , hvor a er en konstant.

Hvis vi antager, at der gælder f(x+y) = f(x) + f(y) for alle x,y , har vi

f(x) = f(x+0) = f(x) + f(0),

hvoraf vi ser, at f(0) = 0 .

Endvidere har vi, at f(2x) = f(x+x) = f(x) + f(x) = 2·f(x) , og det er let at vise ved induktion, at der for ethvert helt, naturligt n gælder

f(nx) = n·f(x) .

Endvider ser vi, at f(x + (-x)) = f(x) + f(-x) = f(0) = 0 , så der gælder, at f(-x) = -f(x), dvs. funktionen f(x) er en ulige funktion. Hvis n er et negativt helt tal, har vi da

f(nx) = f(-(-n)x) = -f((-n)x) = -(-n)·f(x) = n·f(x),

og da denne formel klart er opfyldt for n = 0, gælder den da for ethvert helt tal.

Hvis p og q er et hele naturlige tal, har vi

f(qx) = q·f(x) =  q·f(px/p) = q·f(p·(x/p)) = q·p·f(x/p) = p·f(qx/p) , hvorfor

f(1/p) = (1/p)·f(1) og f((q/p)·x) = (q/p)·f(x) . Vi ser, altså, at der for ethvert rationalt λ gælder

f(λx) = λ·f(x) ,

og ved hjælp af for eksempel Dedekind's snit kan man vise, at formlen vil gælde for ethvert reelt x. Vi har med andre ord, at funktionen har formen

f(x) = a·x ,

hvor a = f(1) er en reel konstant.