Matematik

Ubestemte integraler

31. august 2005 af tjavsmadsen (Slettet)

Hej.
Jeg har 4 opgaver, som jeg i forvejen har regnet, men vil gerne lige have tjekket om de er rigtige.
Derfor skal jeg i første omgang bare bruge facit på opgaverne, hvorved der ikke behøves mellemregninger.

Integraltegn 2x kvadratrod(x^2+4)dx

Integraltegn (x^3+6x)^9(x^2+2)dx

Integraltegn 4x^2(2x^3+5)^-4dx

Integraltegn (2*lnx)^6/x dx

Brugbart svar (0)

Svar #1
31. august 2005 af Lurch (Slettet)

Tjek dem herinde
www.quickmath.com

Svar #2
31. august 2005 af tjavsmadsen (Slettet)

Tak for linket, men tror ikke jeg bærer mig helt rigtigt ad på siden, for facit ligger lagt fra mine resultater.

Brugbart svar (0)

Svar #3
31. august 2005 af Duffy

S2x*sqrt(x^2+4)dx =
2/3*(x^2+4)^(3/2) + k

S(x^3+6x)^9(x^2+2)dx = 1/30*x^30+2*x^28+54*x^26+864*x^24+9072*x^22+326592/5*x^20+326592*x^18+1119744*x^16+2519424*x^14+3359232*x^12+10077696/5*x^10 + k

(Hmm??! Opgaven må være forkert skrevet op!)

S4x^2(2x^3+5)^(-4)dx = 4/45*x^3/(2*x^3+5)^3+4/225*x^3/(2*x^3+5)^2-2/225/(2*x^3+5) + k

S(2*lnx)^6/x dx = 64*lnx^6*ln(x) + k

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #4
31. august 2005 af Lurch (Slettet)

BAre husk korrekte parenteser og kvadratrod skrives som (...)^(1/2).
Men siden er vist nede lige nu

Brugbart svar (0)

Svar #5
31. august 2005 af Epsilon (Slettet)

#0: Du kan få facit til det andet integral blandt de fire listede;

S[(x^2 + 2)*(x^3 + 6x)^9]dx =

1/30*(x^3 + 6x)^10 + C

hvor C er en arbitrær integrationskonstant.

Vink: Integration ved substitution. Det gælder for så vidt hvert af integralerne.

//Epsilon

Svar #6
01. september 2005 af tjavsmadsen (Slettet)

#5 - Tak for svaret. Den var rigtig.
Nogen der kan tjekke de andre.

Brugbart svar (0)

Svar #7
01. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#6: I det første indlæg står at læse:

" Jeg har 4 opgaver, som jeg i forvejen har regnet, men vil gerne lige have tjekket om de er rigtige. "

Jamen, hvad om du kom med dine konkrete bud?

//Epsilon

Svar #8
01. september 2005 af tjavsmadsen (Slettet)

1. 2/3x^2+4x+8+k
2. Har jeg fået svaret på
3. -2/9*(2x^3+5)-3+k
4. 1/8 *(2*lnx)+ k

Brugbart svar (0)

Svar #9
01. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#8:

ad 1.
Ikke enig. Det korrekte resultat er

2/3*(x^2 + 4)*sqrt(x^2 + 4) + C

hvilket er det samme som

2/3*(x^2 + 4)^(3/2) + C

ad 3.
Korrekt, hvis du retteligt angiver -3 som eksponent;

-2/9*(2x^3 + 5)^(-3) + k

ad 4.
Ikke enig.

Vink til udregning af integralet i 4:

S[(2*lnx)^6/x]dx =
S[(2^6)*(lnx)^6/x]dx =
64S[(lnx)^6/x]dx

Du fortsætter. I øvrigt bør man altid kontrollere sine resultater ved differentiation. Derved opdages eventuelle integrationsfejl relativt let.

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #10
01. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Et (andet?) godt sted at tjekke ubestemte integraler er http://integrals.wolfram.com/.

Brugbart svar (0)

Svar #11
01. september 2005 af Duffy

Hæ-hæ - med lidt intuition vil man kunne se at

S(x^3+6x)^9(x^2+2)dx = 1/30*x^30 + 2*x^28 + 54*x^26 + 864*x^24 + 9072*x^22 + 326592/5*x^20 + 326592*x^18 + 1119744*x^16 + 2519424*x^14 + 3359232*x^12 + 10077696/5*x^10 + k

rent faktisk er lig med

1/30*(x^3 + 6x)^10 + k

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #12
01. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#11: Ja, det ses umiddelbart klart :P

Keder man sig, da indsætter man i binomialformlen og giver sig i kast med at regne ;-)

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #13
01. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#12: Og keder man sig rigtig meget, bruger man ikke binomialformlen, men begynder at gange paranteserne ud, en efter en :-)

Brugbart svar (0)

Svar #14
02. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#13: Sådanne slaviske regnerier hører vist til i kategorien 'åbenlyst tidsspilde' :-)

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #15
02. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#14: Og det er det ikke, at ekspandere udtrykket ved brug af binomialformlen? :-)

Brugbart svar (0)

Svar #16
02. september 2005 af michael.padowan.dk (Slettet)

På falderebet vil jeg lige høre, om nogen kan integrere sqrt(x(x-2)) uden brug af hjælpemidler.

Jeg ved, at det skal give ½((x-1)sqrt(x(x-2))-ln(sqrt(x(x-2))+x-1)).

Brugbart svar (0)

Svar #17
02. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#16: Ja. Det kræver imidlertid nogle omskrivninger af integranden. Nedenstående er langtfra pænt, eftersom forummet ikke egner sig til matematisk notation. Men du har selv bedt om integration uden hjælpemidler :-)

Givet funktionen f(x) = sqrt(x(x-2)), x >= 2.
Vi ser, at

f(x) =

1/2*sqrt(x(x-2)) + x(x-2)/[2*sqrt(x(x-2))] =

1/2*[sqrt(x(x-2)) + (x-1)*(x-1)/sqrt(x(x-2))] - 1/[2*sqrt(x(x-2))]

De første led

1/2*[sqrt(x(x-2)) + (x-1)*(x-1)/sqrt(x(x-2))]

er netop differentialkvotienten af funktionen

1/2*(x-1)*sqrt(x(x-2)) (1)

(kontrollér dette!)

Det sidste led i fremstillingen af f;

1/[2*sqrt(x(x-2))]

omskrives som følger;

1/[2*sqrt(x(x-2))] =

1/[2*(sqrt(x) + sqrt(x-2))]*[(sqrt(x) + sqrt(x-2))/sqrt(x(x-2))] =

1/[sqrt(x) + sqrt(x-2)]*[1/(2*sqrt(x)) + 1/(2*sqrt(x-2))]

Men sidstnævnte genkendes som den afledede af den sammensatte funktion

ln[sqrt(x) + sqrt(x-2)] (2)

(kontrollér også dette).

Vi vender nu tilbage til omskrivningen af f. De første led omskrives således;

Af (1) og (2) sluttes derfor, at

S[f(x)]dx =

1/2*(x-1)*sqrt(x(x-2)) - ln[sqrt(x) + sqrt(x-2)] + C

hvor C er en vilkårlig reel konstant. Du kan eventuelt selv eftervise, at for C = ln[sqrt(2)] fås stamfunktionen anført i indlæg #16.

//Epsilon

Skriv et svar til: Ubestemte integraler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.