Diff.lign.

Jeg har følgende opgave, som jeg gerne vil have en smule hjælp til:


(1)
Lad k være en reel konstant. Vis, at

x(t) = t +/- (t^2-t^3+k)^(1/2)

er en løsning til differentiallingingen

x'(t) = (2x-3t^2)/(2(x-t)).

Det har jeg gjort ...


(2)
Bestem de to løsninger til differentialligningen, der opfylder, at x(1) = 0 og x(1) = 2.
Her har jeg fået k = 1 i begge tilfælde, så

x(t) = t +/- (t^2-t^3+1)^(1/2).

Er det rigtigt?


(3)
Bestem det største domæne B, der er en delmængde af R^2, for det tidsafhængige vektorfelt X:B->R, der er forbundet til systemet ovenfor.
Her vil jeg mene, at det må være

B = {(t,x) i R^2 * t^2-t^3+1 >= 0, x i R},

hvor * betyder "hvorom der gælder, at". Er det korrekt?


(4)
Nu skal jeg så beskrive mængden

B_t = {x i R * (t,x) i B}.

Det kan jeg ikke helt finde ud af, så håber på lidt hjælp her.


(5)
Til sidst skal jeg bestemme det største interval I, på hvilket løsningerne, A:I->R^2, til begyndelsesværdiproblemet er defineret.
Her er jeg også på bar bund.