Kvadratsætningen

Den underliggende logik er baseret på, at man ganger to flerleddede størrelser med hinanden ved at gange hvert led i den ene størrelse med hvert led i den anden. Derfor er

(a+b)² = (a+b)·(a+b)

             = a·a + a·b + b·a + b·b

             = a² + 2ab + b²

Jo, jeg kan sagtens se det netop med (a+b)², men det bliver mere uklart med (a+b)³, hvordan man faktisk opnår det, der står i formlen: a³+3a²b+3ab²+b³

Når jeg "efterprøver" sker følgende:

(a+b)³=(a+b)(a+b)(a+b)
aaa+abb+baa+bbb , og så virker alle tal så at sige i forbindelse med hinanden,

selvom "formlen" faktisk er 

a³+3a²b+3ab²+b³, der jo indebærer 8 led: aaa, aab, aab, aab, abb, abb, abb, bbb;

jeg kan slet ikke se, hvordan det kan blive til det:

(a+b)(a+b)(a+b)
1         1        1         = a³
2              2       2      = ab²
      3    3       3           = a²b
      4         4       4      = b³

Jeg tvivler ikke på, at "formlerne" er rigtige, og at mine udledninger og fremgangsmåde er forkerte. Min 'interesse' skyldes, at jeg ikke vil kunne applicere kvadratsætningerne i praksis (udenfor (a+b)^2-lignende situationer), med mindre jeg lurer, hvad jeg gør forkert her.

#2

Dette produkt skal jo udregnes i to trin, således, at man hele tiden kan benytte den grundlæggende regel om at udregne produkter af flerleddede størrelser:

(a+b)³ = (a+b)²·(a+b) = (a² + 2ab +b²)·(a+b) = a²·a + a²·b + 2ab·a + 2ab·b + b²·a + b²·b

                                                                                 = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Det afmystificerede en del. Jeg undrede mig også en del over, hvordan kvadratsætningen a) skulle anvendes på en treleddet størrelse, b) skulle behandle noget, der i sidste ende ikke gav en kvadrat.

Tak for svaret.

#4

Kvadratsætningen kan i sagens natur kun anvendes, når der er tale om at udregne et kvadrat.

Men tydeligvis også en kvadrat af en kvadrat (dvs. (a+b)³)?

#6

(a+b)³ er ikke et kvadrat på et kvadrat, men derimod kubus på en toleddet størrelse.

Derimod er (a+b)⁴ kvadratet på (a+b)² og kan derfor udregnes som kvadratet på den treleddede størrelse (a² + 2ab + b²) , dvs

(a+b)⁴ = ((a+b)²)² = (a² + 2ab + b²)²

                                 = (a²)² + (2ab)² + (b²)² + 2a²·2ab + 2a²·b² + 2·2ab·b²

                                 = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Selv om (a+b)(a-b)=a²-b² ofte kaldes en kvadratsætning er det ikke et kvadrat og betegnelsen kvadratsætning for dette udtryk er derfor misvisende.

Tak for alle svarene. Jeg har dog et nyt spørgsmål i samme emne. Jeg vil tage udgangspunkt i et eksempel:

(2a+b)² = 2 * 2 * a * a + 2 * a * b + 2 * a * b + b * b  = 4a²+4ab+b² 

Facitlisten giver dog flg facit: 4a²+b²+4ab ... 

Jeg kan ikke se, hvordan rækkefølgen i dette tilfælde gør nogen forskel, men er rækkefølge generelt noget, jeg skal tage hensyn til, ved reduktion og udregning af denne type opgaver?

I det følgende tilfælde kan rækkefølgen (???) have en betydning, men mit facit er - igen - kun forkert pga rækkefølge. Løsning og fortegn er ellers korrekte, og hvis jeg kunne udregne/reducere yderligere, ville der gives et korrekt resultat:

(3a - 2b)² = 9a² - 12ab + 4b²

Hvor kommer min logik sig til at adskille sig fra den "rigtige"? Er disse uregelmæssigheder et problem?

Når du bare husker at få fortegnene med, er rækkefølgen af leddene ligegyldig.

9a² - 12ab + 4b² = 4b²+ 9a² - 12ab = 9a²+ 4b² - 12ab

Godt nok. Jeg kunne heller ikke se, at det havde nogen betydning. :-)