Mat AB2 opg. 5132

Kald de to lige store sider i den lille ligebenede trekant, der afskæres foroven, for x, og udtryk så arealet af den blå trekant ved x. Find nu maksimum for arealet som funktion af x.

Man bør hurtigt indse, at den store ligebenede trekant er stykket sammen af to kongruente retvinklede (3,4,5)-trekanter. Højden i den store ligebenede trekant har derfor længden 4. Hvis vi kalder de to lige store sider i den lille ligebenede trekant, der afskæres for oven, for x, er denne lille ligebenede trekant ensvinkelt med den store ligebenede trekant, og den har derfor højden h = (4/5)x og grundlinien g = (6/5)x . Højden i den blå trekant er så

H = 4 - h = 4 - (4/5)x, og arealet af den blå trekant er derfor

A_blå = (1/2)·H·g = (1/2)·(4 - (4/5)x)·(6/5)·x = (12/5)·(1 - x/5)·x

Grafen for funktionen A_blå(x) er en parabel, der vender grenene nedad, og den har derfor maksimum i toppunktet, dvs. værdien af x for maksimalt areal er x₀ = 5/2 .

Den blå trekant med maksimalt areal har derfor grundlinie

g_max = (6/5)·x₀ = (6/5)·(5/2) = 3 ,

og dens højde er

H_max = 4 - (4/5)·x₀ = 4 - (4/5)·)5/2) = 2 .

De to lige store sider i denne blå trekant findes så af Pythagoras ved

s_max = √(2² + (3/2)²) = 5/2.

Således er den blå trekant med maksimalt areal også ensvinklet med den store ligebenede trekant.

Mange tak det hjalp mig meget! bare lille spørgsmål :) hvor får du højden og grundlinjen fra? altså jeg kan ikke lige se hvordan det skal være (4/5)x og (6/5)x

#3

Den lille trekant, der afskæres foroven, er ensvinklet med den store ligebenede trekant, hvis sider er 5, 5, og 6, og hvis højde er 4. Kalder vi de to lige store sidelængder i den lille trekant for x, har den sidelængderne x, x og g, og højden h. Skalaforholdet mellem de to trekanter er x/5 , så der må gælde

g = (x/5)·6 , og   h = (x/5)·4

Mange tak!