MATH!!!

Opgave 6 – Komplekse tal og ligninger (matematik)

Igennem hele denne opgave betegner z=x+y·i et komplekst tal hvor i opfylder i^2=-1.

a)  Vis – ved at gange parenteserne ud – at (1+i)^5=-4-4·i.

b)  Skriv det komplekse tal (1+i)/(1-i) på formen z=x+y·i.

Eksempel 1. Antag at vi ønsker at løse ligningen

z^2=7-24i

For at gøre dette skriver vi z=x+yi, hvor x og y er to reelle tal. Indsættes dette får vi

(x+yi)^2=7-24i
x^2-y^2+2ixy=7-24i

Der må således gælde, at
x^2-y^2=7,2xy=-24

Vi kan også beregne modulus af begge sider af ligheden (x+yi)^2=7-24i,
(d.v.s.  |z^2 |=|7-24i|), hvilket giver at

x^2+y^2=√(7^2+(-24)^2  )=25.

håber nogen der kan hjælpe mig med at regne opgaverne tusind tak på forhånd:-)

Således har vi to ligninger
x^2-y^2=7
x^2+y^2=25

Lad os lægge de to ligninger sammen:

(x^2-y^2 )+(x^2+y^2 ) = 7+25
2x^2 = 32
x^2 = 16
x = ±4

Ved at indsætte x=4 i 2xy=-24 får vi y=-3, dvs. z=4-3i, og ved at indsætte
x=-4 i 2xy=-24 får vi y=3, dvs. z=-4+3i.

c)  Find alle løsninger til ligningen
z^2=(1+i)/(1-i)

og skriv dem på formen z=x+yi.

d) Hvad er modulus og argument for de komplekse tal, som er løsning i opgave c? Indtegn desuden løsningerne i et Argand diagram.