Matematik
SOS!!!
Igennem hele denne opgave betegner z=x+y·i et komplekst tal hvor i opfylder i^2=-1.
a) Vis – ved at gange parenteserne ud – at (1+i)^5=-4-4·i.
b) Skriv det komplekse tal (1+i)/(1-i) på formen z=x+y·i.
Eksempel 1. Antag at vi ønsker at løse ligningen
z^2=7-24i
For at gøre dette skriver vi z=x+yi, hvor x og y er to reelle tal. Indsættes dette får vi
(x+yi)^2=7-24i
x^2-y^2+2ixy=7-24i
Der må således gælde, at
x^2-y^2=7,2xy=-24
Vi kan også beregne modulus af begge sider af ligheden (x+yi)^2=7-24i,
(d.v.s. |z^2 |=|7-24i|), hvilket giver at
x^2+y^2=√(7^2+(-24)^2 )=25.
Således har vi to ligninger
x^2-y^2=7
x^2+y^2=25
Lad os lægge de to ligninger sammen:
(x^2-y^2 )+(x^2+y^2 ) = 7+25
2x^2 = 32
x^2 = 16
x = ±4
Ved at indsætte x=4 i 2xy=-24 får vi y=-3, dvs. z=4-3i, og ved at indsætte
x=-4 i 2xy=-24 får vi y=3, dvs. z=-4+3i.
c) Find alle løsninger til ligningen
z^2=(1+i)/(1-i)
og skriv dem på formen z=x+yi.
d) Hvad er modulus og argument for de komplekse tal, som er løsning i opgave c? Indtegn desuden løsningerne i et Argand diagram.
Svar #1
23. september 2012 af Andersen11 (Slettet)
Hvad har du selv gjort i alle disse opgaver? Har du ikke benyttet den lange forklaring, du citerer?
Svar #2
23. september 2012 af Navnee (Slettet)
jo, men problemet er at de er et minus stykke og det jeg har er et divison stykke. Så hvordan ska jeg splitte det op?
Svar #3
23. september 2012 af Navnee (Slettet)
og når jeg ganger paranteserne ud, får jeg overhovedet slet ik det samme resultat, og har prøvet at gange det ud, omkring 3-4 gange :s
Svar #4
23. september 2012 af peter lind
Vi kan jo ikke se hvad du gør galt, hvis du ikke skriver hvad du gør.
Tips til a) Find først z2, dernæst z4 = (z2)2, z5 = z*z4
Tips til b) gang i tæller og nævner med den kompleks konjugerede til nævneren her 1+i
Svar #5
23. september 2012 af Navnee (Slettet)
har løst a og b, men i c'eren sætter jeg (1+i)/(1-i), ind istedet for 7-24i, og splitter brøkken op i 2, dvs :
(x+yi)^2=(1+i)/(1-i)
x^2-y^2+2ixy= (1+i)/(1-i)
Der må således gælde, at
x^2-y^2=(1+i), 2xy=(1-i)
Vi kan også beregne modulus af begge sider af ligheden (x+yi)^2=(1+i)/(1-i)
(d.v.s. |z^2 |=|(1+i)/(1-i)|), hvilket giver at
x^2+y^2=√((1+i)^2+(1-i)^2 )=???
Der går jeg i stå, og ved ik engang om jeg gør det rigtigt?
Svar #6
23. september 2012 af Navnee (Slettet)
Vil i ik nok hjælpe? Det er en beståelses opg, skal bare bestå ellers kommer jeg ikke rigtig videre i mit studie?
Svar #7
23. september 2012 af peter lind
Indsæt resultatet af omskrivning af (1+i)/(1-i) i spørgsmål a på højre side.
Svar #8
23. september 2012 af Navnee (Slettet)
Mener du ik resultatet fra b ? eller??
Og hvilken højre side? der er så mange = tegn :s
Svar #11
23. september 2012 af Andersen11 (Slettet)
#10
Ja, det er korrekt.
Man har
(1+i)/(1-i) = (1+i)2 / ((1-i)(1+i)) = (1 + i2 + 2i) / (1 - i2) = (1 - 1 + 2i) / (1 + 1) = i .
Løs nu ligningen
z2 = i
Svar #12
23. september 2012 af Navnee (Slettet)
x^2+y^2=√(i) = ?? hva gir det så? Kan virkelig ikke se det,,
Svar #13
23. september 2012 af Andersen11 (Slettet)
#12
Hvis man benytter den metode, du selv skildrer i detaljer, har man så
(x + iy)2 = i , dvs
x2 -y2 + 2ixy = i ,
og desuden
|z|2 = x2 + y2 = |i|2 = 1 ,
så vi har ligningerne
x2 - y2 = 0
x2 + y2 = 1
2xy = 1 ,
dvs
2x2 = 1, 2y2 = 1, 2xy = 1 ,
dvs
x = ±(√2)/2 , y = ±(√2)/2 , xy = 1/2 ,
hvilket vil sige, at x og y skal have samme fortegn, så
x + iy = ±(√2)/2 · (1 + i)
Svar #17
24. september 2012 af Mambojo (Slettet)
Hvad er modulus og argument for de komplekse tal, som er løsning i opgave c? Indtegn desuden løsningerne i et Argand diagram.
Svar #18
24. september 2012 af Andersen11 (Slettet)
#17
Med
z = x + iy = ±(√2)/2 · (1 + i)
ser man, at |z| = 1 (hvilket ikke burde undre), så
z1 = (√2)/2 + i·(√2)/2 = eiπ/4 , og
z2 = -(√2)/2 -i·(√2)/2 = ei5π/4
Svar #19
24. september 2012 af Navnee (Slettet)
Tusind tak for hjælpen til alle !!!!!
lige et sidste spørgsmål, er arg z1 og z2 ? altså det er sådan jeg får det til at gå op :)
Svar #20
24. september 2012 af Navnee (Slettet)
ANDERSEN11, du har reddet liiiv!!!!!!!!! :)tak for din tid!!
Skriv et svar til: SOS!!!
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.