Hvad er et polynomium?

Et polynomium er en funktion f(x) der er en sum af endeligt mange led af formen a_n·xⁿ , hvor a_n er en konstant, og n er et helt, naturligt tal (dvs. n er hel og ≥ 0) .

Et eksempel kunne være

f(x) = 2x³ -5x² +7x +13

hvad vil det så sige, når jeg skal konstruere et andengradspolynomium med 0 rødder? Hvordan gør jeg det?

Tak for svar til det første :)

#2

Vælg koefficienterne a, b, c i et 2.-gradspolynomium ax² + bx + c således, at polynomiets diskriminant d bliver negativ. Når d < 0 , har polynomiet ingen reelle rødder. Dette er for eksempel tilfældet med et 2.-gradspolynomium, hvis tilhørende parabel vender grenene opad, og hvis toppunkt har en positiv y-koordinat.

Jeg er ikke sikker på, at jeg forstår, hvad du mener. Skal jeg selv vælge nogle koefficienter (tal?) - altså bare gætte?

#4

Du skal vælge koefficienterne, så polynomiet opfylder, at d < 0 . Et simpelt eksempel er x² + 1 .

Okay, nu forstår jeg det godt :) Kan du (eller andre) eventuelt også forklare beviset for løsningen af en andengradsligning for mig? Jeg har kigget rundt omkring på studieportalen, men jeg fatter hat af, hvad der foregår i det bevis, så det kunne være rart, hvis det også kunne blive skåret ud i pap :)

#6

Det drejer sig om at løse 2.-gradsligningen

                 ax² + bx + c = 0

Her drejer det sig om at omskrive leddene med x til et kvadrat, ved at lægge passende størrelser til på hver side. Vi antager, at a ≠ 0, s9 vi kan dividere med a på hver side

            x² + (b/a)x + (c/a) = 0

Vi ønsker at få leddene med x til at indgå på formen (x + k)² . Ved udregning har vi

      (x + k²) = x² + 2kx + k²

Sammenligner vi det med x2 + (b/a)x , ser vi, at vi skal sætte 2k = b/a , dvs k = b/(2a) . Vender vi tilbage til 2.-gradsligningen har vi da

           x² + 2·(b/(2a))x + (c/a) = 0 ,

og dermed

          x² + 2·(b/(2a))x + (b/(2a))² - (b/(2a))² + (c/a) = 0 , eller

        (x + (b/(2a))² = (b/(2a))² - (c/a) = (b² - 4ac) / (2a)² = d / (2a)² ,

hvor vi har indført diskriminanten d = b² - 4ac .

Hvis diskriminanten d ≥ 0 , kan vi skrive d = (√d)² , og dermed har vi

       (x + (b/(2a))² - ((√d)/(2a))² = 0 ,

der ved hjælp af en af kvadratsætningerne kan skrives

       (x + (b/(2a)) + (√d)/(2a)) · (x + (b/(2a)) - (√d)/(2a)) = 0

Ved hjælp af nulreglen aflæser man så de to rødder

     x =  -(b/(2a)) - (√d)/(2a) ∨ x = -(b/(2a)) + (√d)/(2a) ,

der ofte sammenfattes til formlen

     x = (-b ± √d) / (2a)

Tusind tak for svar :) Dem er jeg rigtig glad for. Jeg er stort set færdig med den rapport, jeg skulle skrive om polynomier, men der er én opgave, som jeg stadig ikke kan finde ud af:

For hvilke(t) tal k har disse ligninger én løsning? Angiv for hvert k den tilhørende løsning:
a) -2x2-24x+k=0
b) 4x2+kx+9=0
c) kx2+3x-6

Hvad er k? Hvis jeg bare kan få hjælp med opgave a, kan jeg sikkert godt lave resten

              a)     -2x² - 24x + k = 0

                      -2x² + (-24)x + k = 0

  a = (-2)
  b = (-24)
  c = k

   For hvilkt tal k har denne ligning én løsning?

      d = b² - 4ac = 0

           (-24)² - 4•(-2)•k = 0

           576 + 8k = 0

           72 + k = 0

           k = -72

#8

Benyt, at diskriminanten d 's fortegn indikerer antallet af løsninger i dens tilhørende 2.-gradsligning.

      Hvis d > 0 er der to forskellige reelle løsninger
      Hvis d = 0 er der netop een løsning
      Hvis d < 0 er der ingen reelle løsninger

For hver af de angivne ligninger bestemmes k, således at ligningens diskriminant netop bliver lig med 0.

mathon: Hvordan er du gået fra 576+8k=0 til 72+k=0? Hvad sker der imellem de to?

#11

Der divideres med 8 på hver side af lighedstegnet.

Ja, men hvor kommer 576 fra?

og 72? Det kan godt være jeg lyder dum, men jeg kan simpelthen ikke se det.

#14

Det er jo skåret ud i pap i #9. Man beregner diskriminanten d = b² - 4ac, med a = -2, b = -24, og c = k, dvs.

d = b² - 4ac = (-24)² - 4·(-2)·k = 576 + 8k = 8·(72 + k) ,

og man løser så ligningen d = 0 .