Svær Differentialligning hjælp

Skriv differentialligningen

y(t) · y'(t) = (enten 1/(t²+11) eller t²+11 , uklart hvilken det skal være).

Venstresiden er da (1/2)·(y(t)²)' som umiddelbart kan integreres. Højresiden er en kendt funktion af t, der også kan integreres.

Er ikke helt med hvorfor du vil isolere udtrykket t^2 +11 men vi vha. seperation af de variable beregne den fuldstændige løsning og derefter den partikulær løsning da vi kender y(1) = sqrt(24)

Men jeg er gået i stå her:
 

stamfunktionen til 1 / (1/y) dy = stamfunktionen til t^2+11 dt

hvad er stamfunktioen til y?

#2

En stamfunktion til y er (1/2)·y² .

Når man separerer de variable, får man

y · dy/dt = t² + 11 ,

og dermed

∫ y dy = ∫ (t² + 11) dt , dvs

(1/2)·y² = t³/3 + 11t + k .

Konstanten k fastlægges så ved, at y(1) = √24 .

Men er det bare mig der har eller må man gerne tage stamfunktionen af funktion y(t) ligesom man gør med en variable x?

fx stamfunktionen til x er 1/2 x^2 

men er stamfunktionen y(t) det samme?

#4

Det er jo netop det, man opnår ved at separere de variable. På venstre side forekommer kun y, og på højre side kun t. Derfor er det integralet

∫ y dy

der skal beregnes, ikke ∫ y(t) dt .

Man kan også se, at

y(t)·y'(t) = (1/2)·(y(t)²)' 

ved at differentiere højresiden . Derfor er (1/2)·y(t)² en stamfunktion til y(t)·y'(t) . Skrivemåden ∫ y dy er blot en hurtigere måde at se det på. Eller man kunne skrive

∫ y(t)·y'(t) dt = ∫ y(t)·(dy/dt) dt = ∫ y dy

skal konstanten c være indeni kvadratrodden eller udenfor? fordi vi får 2 konstanter.

y = sqrt( 2/3 *t^3+22t) +c ? eller y = sqrt( 2/3 *t^3+22t + c)

#6

Konstanten kommer jo fra udtrykket

(1/2)·y² = t³/3 + 11t + c ,

så man isolerer y af dette udtryk til

y = √((2/3)t³ + 22t + 2c) ,

hvorfor den skal under kvadratroden, og hvor man så kan kalde "2c" for c i stedet.

Men konstanten c fastlægges måske enklest direkte ud fra

(1/2)·y² = t³/3 + 11t + c ,

hvor y(1) = √24 , dvs

24/2 = 1/3 + 11 + c , eller c = 2/3 .

Tusind tak

Hej jeg er også i gang med denne opgave, og jeg ville bare høre Andersen, i #3, om hvor man gør af y'(t) når man laver integralerne?

#9

Man kan sige, at man teknisk set laver en substitution u = y(t) , du = y'(t) dt , hvorfor

∫ y(t) · y'(t) dt bliver lig med ∫ u du , der umiddelbart kan integreres til (1/2)·u² = (1/2)·y² , men eftersom u = y, er der slet ingen grund til at indføre et nyt symbol u , og man skriver derfor blot

∫ y(t) · y'(t) dt = ∫ y dy = (1/2)·y² .

Nå ja, det kan jeg godt se nu, tak for hjælpen :)