Larange Polynomie

Hvad er Larange polynomier ? Du kan altid bestemme et polynomium hvis du har nok punkter. Hvis du har n punkter kan du entydig bestemme et polynomium af grad n-1 ved at sætte dem ind i den generelle beskrivelse af polynomier og løse de heraf fremkomne lineære n ligninger med n ubekendte.

Ja, der findes en formel for polynomiet af grad n-1 , der går gennem n punkter (a_j , f(a_j)) . Formlen indeholder de såkaldte Lagrangeske interpolationspolynomier.

Det Nemlig Lagrange Interpolynimomier..Jeg leder en efter en Almen formel som kan beregne for x antal punkter.. 

Jeg skal skrive en kode for den funktion, men for at gøre det skal jeg vide hvordan den alment virker.. 

Nogen som kender funktionen og måske kunne hjælpe med at beskrive den ?

#3

Man kan gå den direkte vej ved at opstille n ligninger med de n ubekendte koefficienter i polynomiet. Det virker ret godt, når n er forholdvis beskeden (måske mindre end 5 - 6).

I en mere avanceret fremgangsmåde, hvor der er givet n punkter (a_j , f(a_j)), kan man skrive det polynomium af grad n-1 , der netop går gennem alle disse punkter, som

P(x) = ∑ⁿ_j=1 L_j(x)·f(a_j) ,

hvor

L_j(x) = p_n(x)/((x-a_j)·p_n'(a_j)) , og

p_n(x) = ∏ⁿ_i=1 (x - a_i)

Jeg skal lige forstå 

P(x) = ∑nj=1 Lj(x)·f(aj) 

Er f(aj) alle dine y værdier for punkterne.. eller kun et af dem?..

Og hvordan indgår alle punkt værdierne..

hvad er din ai?

#6

Genlæs teksten i #4. Der er giver n punkter (a_j , f(a_j)) , j = 1,...,n .

Når der i udtrykket

P(x) = ∑ⁿ_j=1 L_j(x)·f(a_j)

summeres over j fra 1 til n, er meningen den, at j gennemløber alle hele tal fra 1 til n.

Ok.. for så jeg kan undgå summations tegnet hvis jeg regner det hele ud manuelt, altså for hvert punkt. 
Det ikke hvert punkt som skal sumeret eller regnes som produkt..

#8

Jeg forstår ikke, hvad du skriver her.

Jeg har forstået Aj til er være alle x koordinaterne for alle de angivne punkter således at 

Mine kendte punkter et (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),.....(xn,yn),

P(x) =(x - (x1,x2,x2,x3,....xn)/(x - (x1,x2,x2,x3,...xn)·(x1,x2,x2,x3,....xn)·(y1,y2,y3,...yn) ,

Eller?

#10

Ja, jeg kaldte de kendte punkter (a_j , f(a_j)) , j = 1,..,n .

Det er ret uklart med din notation, hvordan P(x) skal beregnes.

I stedet for

L_j(x) = p_n(x)/((x-a_j)·p_n'(a_j)) , og

p_n(x) = ∏ⁿ_i=1 (x - a_i)

kan man skrive

L_j(x) = (x - a₁)···(x-a_j-1)·(x-a_j+1)···(x-a_n) / [ (a_j - a₁)···(a_j-a_j-1)·(a_j-a_j+1)···(a_j-a_n) ] ,

og interpolationspolynomiet er så

P(x) = ∑ⁿ_j=1 L_j(x)·f(a_j)

Men hvis du skulle skrive den fuldt ud, med brug af alle punkterne...
 

hvordan ville den så se ud. 

#12

Det kan man da ikke gøre i almindelighed. Men notationen i #4 er netop en elegant måde at skrive det i en rimeligt kortfattet notation.

Men den må da vel kunne skrives om til således at alle punkter indgår.. altså hvis man kun har 4 punkter f.eks.

Der hvor jeg går i stå er ved forståelsen af hvordan de forskellige punkter indgår i forskelige led som du beskriver.

Og som spurgt før.. hvad er ai?

#16

Jeg har jo nævnt før, at der er n punkter (a_j , f(a_j)) , j = 1,...,n . a_i er en den i'te af disse x-koordinater.

#14

Ja, hvis man vælger et n, kan man (i princippet) skrive det færdige polynomium ud, men selv med n = 4 bliver det ret omfattende.

Hvis n = 2 har man de to punkter (a₁ , f(a₁)) og (a₂ , f(a₂)) . Det interpolerende polynomium af grad 1 er selvfølgelig den lineære funktion gennem disse to punkter.

Her er

p₂(x) = (x - a₁)(x - a₂) ,

p₂'(x) = (x - a₁) + (x - a₂), og dermed

p₂'(a₁) = a₁ - a₂ , p₂'(a₂) = a₂ - a₁ , hvorfor

L₁(x) = (x - a₂)/(a₁ - a₂) , og

L₂(x) = (x - a₁)/(a₂ - a₁) ,

hvorfor det interpolerende polynomium er

P(x) = L₁(x)·f(a₁) + L₂(x)·f(a₂)

Ok..  Så forstod jeg det..

Så kan jeg skrive min kode ind..

Takker for hjælpen :)