Matematik
Ekstremal
"Lad A være rektanglet {(x,y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 3 og -1 ≤ y ≤ 5}. Vi kan definere funktionen f på A ved formlen f(x,y) = 2x - y
Udenfor A lader vi f(x,y) være udefineret. Eftersom A er en lukket og begrænset mængde, siger ekstremalværdisætningen, at f har både største- og mindstreværdi på A. At dette virklig er sant, kan vi se ved at bruge ulighederne 0 ≤ x ≤ 3 og -1 ≤ y ≤ 5 til at vise, at -5 ≤ 2x - y ≤ 7. Derefter tjekker vi, at f(0,5) = -5, og f(3,-1) = 7. Dette viser, at f antager sin størsteværdi 7 i punktet (3,-1), og f antager sin mindsteværdi -5 i punktet (0.5)."
Hvordan kan det blive vist som -5 ≤ 2x - y ≤ 7?
Svar #1
26. oktober 2012 af Andersen11 (Slettet)
Man har
0 ≤ x ≤ 3 og
-1 ≤ y ≤ 5 .
Heraf følger så
0 ≤ 2x ≤ 6 og
-5 ≤ -y ≤ 1
Ved addition af de to uligheder fås så
-5 ≤ 2x-y ≤ 7
Svar #2
26. oktober 2012 af YesMe (Slettet)
#1
Istedet for at forlænge det med 2 til den første ulighed og minus på den anden ulighed, kan man ikke gøre det her;
0 ≤ x ≤ 3
-1 ≤ y ≤ 5
de to adderes, og fås
-1 ≤ x - y ≤ 8 ?
Svar #3
26. oktober 2012 af Andersen11 (Slettet)
#2
Nej, det er ikke korrekt. Når man lægger ulighederne sammen får man jo
-1 ≤ x + y ≤ 8 .
Men det viser jo ikke noget om den betragtede funktion f(x,y) = 2x - y .
Svar #5
26. oktober 2012 af YesMe (Slettet)
Hvad kræver der for at gøre det modsatte retning, hvor man har defineret en ny ulighed udfra to uligheder. Altså fra
-5 ≤ 2x-y ≤ 7 til 0 ≤ x ≤ 3 og -1 ≤ y ≤ 5 ?
Svar #6
26. oktober 2012 af Andersen11 (Slettet)
#5
Det kan man ikke gøre generelt.
Løsningsmængden til uligheden
-5 ≤ 2x-y ≤ 7
er jo mængden af alle punkter på linier med en ligning af formen
2x -y + c = 0,
hvor -7 ≤ c ≤ 5.
Ovenfor viste vi blot, at
0 ≤ x ≤ 3 ∧ -1 ≤ y ≤ 5 ⇒
-5 ≤ 2x-y ≤ 7 ,
men der gælder ikke pil den anden vej.
Hvis vi derimod havde medtaget en af de to oprindelige uligheder, f.eks. 0 ≤ x ≤ 3 , kunne vi opretholde biimplikationen:
0 ≤ x ≤ 3 ∧ -1 ≤ y ≤ 5 ⇔
-5 ≤ 2x-y ≤ 7 ∧ 0 ≤ x ≤ 3
Skriv et svar til: Ekstremal
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.