Matematik
Punktbeskrivelse
Endnu engang skal jeg bruge lidt hjælp fra jer herinde.
Beskriv de punkter P(x,y) der opfylder ligningen:
a) x^2 + y^2 + 2x - 2y = 0
Det er vel ikke en cirkel ligningen så ville se sådan ud:
(x + 1)^2 + (y-1)^2 = -2
Men hvad er det så? Hvordan skal jeg bestemme hvilke punkter der opfylder ligningen?
Svar #1
18. september 2005 af Waterhouse (Slettet)
Svar #2
18. september 2005 af TheKo (Slettet)
(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1
(y - 1)^2 = y^2 - 2y + 1
Så er der vel +2 i overskud på venstre side? Hvordan kan det være at de ikke skal trækkes fra på den anden side, men lægges til?
Svar #3
18. september 2005 af Waterhouse (Slettet)
(x + 1)^2 + (y-1)^2
og får
x^2+2x+1+y^2-2y+1
I forhold til det oprindelige udtryk har vi altså lagt 2 til på venstesiden. Det samme bliver vi nødt til at gøre på højre, og så får vi i alt
(x+1)^2 + (y-1)^2 = 2
Svar #5
18. september 2005 af TheKo (Slettet)
Hvordan ville I så beskrive punkterne for den cirkelligning?
At punkterne ligger inden for cirklen med en radius på 2 med centrum i (-1,1)?
Svar #7
18. september 2005 af TheKo (Slettet)
Men tag så den her fx:
x^2 + y^2 + 6x - 8y + 25 = 0
som bliver til:
(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 0
Den er så bare et punkt (-3,4) da radius er 0.
c)
x^2 + y^2 + 20x - 10y + 128 = 0 =>
(x + 10)^2 + (y - 5)^2 = -3
Ingen ligning? Hvordan skal det beskrives?
d)
(x -5)(x + 1) + (y - 2)(y + 8) = 30 =>
(x -5)(x + 1)= (x - 2)^2 -8
(y - 2)(y + 8) = (y + 3)^2 + 25
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 48
midtpunkt (2,-3), radius 48
rigtigt?
Svar #8
18. september 2005 af TheKo (Slettet)
2.10
I et koordinatsystem har en trekant ABC vinkelspidserne A(-3, 1),B(1,6) og C(12,-4).
Beregn |AB|,|BC| og |AC|.
Undersøg om trekant ABC er retvinklet.
:
|AB| = sqrt((-3 - 1)^2 + (1 - 6)^2) = 6,4
|BC| = sqrt((1 - 12)^2 + (6 + 4)^2) = 14,87
|AC| = sqrt((12 + 3)^2 + (-4 + 1)^2) = 14,7
I en retvinklet trekant gælder:
a < c > b
c = |BC|
|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2 <=>
sqrt(6,4^2+14,7^2 = 14,87 <=>
16,6 /= 14,87
ABC er derfor ikke retvinklet
Svar #9
19. september 2005 af Epsilon (Slettet)
Nej, punkterne P(x,y), som opfylder den givne ligning, er de punkter i planen, som ligger på randen af cirklen (ikke inden for) med centrum i (-1,1) og radius r = sqrt(2).
Kort sagt: de punkter i planen, som har afstanden sqrt(2) til punktet (-1,1).
Bemærk, at højresiden i cirkelligningen
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
er _kvadratet_ på radius.
#7:
Den første er vi enige om.
ad c)
Den tomme mængde (Ø).
ad d)
Ikke enig. Vi har
(x-5)(x+1) = x^2 - 4x - 5 = (x-2)^2 - 9
(y-2)(y+8) = y^2 + 6y - 16 = (y+3)^2 - 25
og dermed
(x-2)^2 + (y+3)^2 = 74
Centrum C(2,-3) og radius r = sqrt(74).
#8:
Undlad afrunding; regn eksakt. Ikke mindst i betragtning af, hvad du skal undersøge efterfølgende. Afrunding kan lede til en fejlagtig konklusion.
|AB| = sqrt(41)
|AC| = sqrt(250)
|BC| = sqrt(221)
Vi ser, at |AC| > |AB|, |AC| > |AB|. Ifølge den pythagoræiske læresætning er ABC da retvinklet præcis, hvis
|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2
Men da
|AC|^2 = 250 != 221 + 41 = |AC|^2 + |BC|^2
er ABC _ikke_ retvinklet.
Anm: tegnet != er logisk 'not equal to'.
//Epsilon
Svar #10
19. september 2005 af Epsilon (Slettet)
For dælen da for en snorkefejl; i d) skal der selvfølgelig stå
(x-2)^2 + (y+3)^2 = 64
Centrum C(2,-3) og radius r = 8.
//Epsilon
Svar #11
19. september 2005 af TheKo (Slettet)
Jeg havde helt glemt at cirkelligningen blev lig r^2, ikke bare r.
Termet Ø kendte jeg ikke så det er jo perfekt.
d) må være fordi jeg var træt/ukoncentreret - den giver jo sig selv.
Svar #12
19. september 2005 af Epsilon (Slettet)
Velbekomme :-)
Det ville desværre stadigvæk være synd at hævde, at #9 er fejlfri. Ret skal være ret; nu gør jeg det lige ordentligt, også selvom der er tale om åbenlyse copy/paste-fejl;
" Vi ser, at |AC| > |AB|, |AC| > |BC|. "
(ikke det samme to gange, naturligvis).
" |AB|^2 + |BC|^2 "
(AC rettes til AB ude til højre i nederste beregning).
//Epsilon
Skriv et svar til: Punktbeskrivelse
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.