Trigonometrisk integral

31. oktober 2012 af vroom (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej kloge hoveder :-)
For a>0 og b>0 betragtes integralet ∫₀^2πab/[a²cos²(t)+b²sin²(t)]dt

Jeg kender facit, men ved ikke hvordan man kommer frem til det ?!

Kan nogen give mig et hint ?!

Tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
31. oktober 2012 af Andersen11 (Slettet)

Man kan benytte, at

∫ 1/(a²·cos²(t) + b²·sin²(t)) dt = 1/(ab) · tan^-1[ (b/a)·tan(t) ] ,

hvilket eftervises lettest ved at differentiere tilbage.

Svar #2
31. oktober 2012 af vroom (Slettet)

Hej Andersen11 ...

Tak for svar ... Men hvordan kommer du frem til ovenstående ?! ... At regne tilbage er vel ikke en bevismetode ?!

Din "nye" formel gør det bestemt IKKE lettere at eftervise resultatet :-(

Brugbart svar (1)

Svar #3
31. oktober 2012 af Andersen11 (Slettet)

Som nævnt viser man udtrykket ved at differentiere tilbage. Man er nødt til at splitte integralet op i områder, hvor tan(t) er kontinuert.

Man har så

₀∫^π/2 ab/(a²·cos²(t) + b²·sin²(t)) dt = [ tan^-1( (b/a)·tan(t) ) ]^π/2₀ = π/2 .

Endvidere

_π/2∫^π ab/(a²·cos²(t) + b²·sin²(t)) dt = ₀∫^π/2 ab/(b²·cos²(t) + a²·sin²(t)) dt = π/2 ,

_π∫^3π/2 ab/(a²·cos²(t) + b²·sin²(t)) dt = ₀∫^π/2 ab/(a²·cos²(t) + b²·sin²(t)) dt = π/2 , og

_3π/2∫^2π ab/(a²·cos²(t) + b²·sin²(t)) dt = _π/2∫^π ab/(a²·cos²(t) + b²·sin²(t)) dt = π/2 ,

hvorfor

₀∫^2π ab/(a²·cos²(t) + b²·sin²(t)) dt = 4·π/2 = 2π

Svar #4
31. oktober 2012 af vroom (Slettet)

Tak ... fatter desværre ikke hvordan du kommer fra "a til b" ?! Du bruger CAS ?! Eller ?!

Brugbart svar (0)

Svar #5
04. november 2012 af Andersen11 (Slettet)

Nej, det er almindelig håndregning.

Skriv et svar til: Trigonometrisk integral

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.