Kritiske punkter.

Du har ikke bestemt alle de stationære punkter. Der er uendeligt mange af dem, da definitonsmængden er hele R² .

Stationære punkter er punkter, hvor begge ligninger ∂f/∂x = 0 og ∂f/∂y = 0 er opfyldt. Det vil her sige

24x² + 10x + cos(y) = 0 og

-x·sin(y) = 0

Af den sidste ligning har vi

-x·sin(y) = 0 ⇔ x = 0 ∨ sin(y) = 0 ⇔ x = 0 ∨ y = p·π , p ∈ Z .

Ser vi nu på Lign 1 sammen med x = 0, får vi cos(y) = 0 ⇒ y = π/2 + p·π , p ∈ Z .

Ser vi på Lign 1 sammen med sin(y) = 0 , får vi

24x² + 10x +1 = 0 for p lige, og 24x² + 10x -1 = 0 for p ulige , dvs

(x = -1/4 ∨ x = -1/6) for p lige, og (x = 1/12 ∨ x = -1/2) for p ulige.

For hvert stationært punkt benytter man de 2. afledede til at afgøre, hvorvidt det er et saddelpunkt eller el lokalt minimum eller maksimum.

Du har helt ret det med stationære punkter.

Jeg har læst flere gange for at forstå, hvordan du er kommet frem til det her i lang tid;

"Ser vi på Lign 1 sammen med sin(y) = 0 , får vi

24x² + 10x +1 = 0 for p lige, og 24x² + 10x -1 = 0 for p ulige" ?

Har det noget med idiotformlen at gøre, at sin(y)² + cos(y)² = 1?

#2

Ja, det har noget at gøre med, at hvis sin(y) = 0, er cos²(y) = 1, og dermed er cos(y) enten +1 eller -1 .

#3

Når man har, at cos²(y) = 1, så må cos(y) jo være lig med ±√(1)

eller mere præcis skulle det være cos²(y) = 1² istedet, selvom 1² = 1?

#4

Jeg forstår ikke, hvor du vil hen med det.

Når sin²(y) + cos²(y) = 1, og sin(y) = 0, er cos²(y) = 1 . Længere er den ikke.

#5

cos²(y) = 1

Når jeg sætter kvadratroden på hver sider, får man

cos(y) = ±√(1) hvilket stemmer ikke overens med det, du siger i #3. 

#6

Hvorledes stemmer det ikke overens med, at cos(y) er enten +1 eller -1 ?

#7

Lol. Undskyld, det er mig, der ikke troede, at ±√(1) = ±1.

Når jeg skal benytte sætningen (ABC-kriteriet) (se #0), ved jeg, at

∂²f/∂x²(x,y) = 48x + 10

∂²f/∂x∂y(x,y) = -sin(y)  og

∂²f/∂y²(x,y) = -xcos(y)

så det(Hf(x,y)) = -(48x + 10)xcos(y) - sin(y)²

Vi lader k(x,y) = det(Hf(x,y))

Stationære punkter indsættes,

k(-1/6,0) = 1/3  , k(-1/4,0) = -1/2

k(-1/2,π) = 7  ,  k(1/12,π) = 7/6

Man kan nu se, at det stationært punkt (-1/2,π) er lokalt max, og

at det stationært punkt (1/12,π) er et lokalt min

samt stationært punkt (-1/4,0) er et sadelpunkt. Er det korrekt?

Du mangler vist at betragte punkterne x = 0, cos(y) = 0 .

#9

Skal man betragte punkterne i de 1. afledede funktioner, eller også for 2. aflede funktioner? Hvis det gælder for 1. afledede, så siger vi nu, at 

∂²f/∂x²(x,y) = 0

∂²f/∂x∂y(x,y) = -sin(y)

∂²f/∂y²(x,y) = 0

så det(H(x,y)) = -sin(y)² , ikke?

Kan du være sød give mig facit til det her opgave?

#10

Man skal betragte alle de stationære punkter. Man kan lave følgende oversigt:

   x       sin(y)       cos(y)      f_xx      f_xy     f_yy     det(H)          f(x,y)

   0        +1              0           10    -1     0          < 0              0                 sadel
   0        -1               0           10    +1    0          < 0              0                 sadel
-1/4       0               1            -2      0    1/4       < 0            -1/16             sadel
-1/6       0               1             2      0     1/6       > 0          -7/108           globalt min
1/12      0               -1          14     0    1/12      > 0         -19/432          lokalt min
-1/2       0               -1         -14    0     -1/2       > 0            3/4               globalt max

Helt perfekt.