Matematik
Logistisk vækst
En differentialligning af typen y'=a*y*(M-y)
har løsningen y = M/(1+c*e-a*M*x), c > 0
Hvordan kan jeg herfra komme ind på at snakke om den relative væksthastighed (y'/y)? Jeg skal vise på en eller anden måde (matematisk), at hvis man har y'/y på y-aksen og y på x-aksen, så aftager væksthastigheden lineært.. hvordan kommer jeg frem til det ?
Ydermere forstår jeg ikke følgende fra min bog (Nogen der kan omformulere det / skrive det op, så det ikke er så meget tekst.. ?)
Ændring af c-værdien betyder, at grafen paralelleforskydes langs x-aksen. Hvis c er et negativt tal, vil der findes en x-værdi, hvor næveren
1 + c e-a*M*x
antager værdien nul, og funktionen er ikke defineret her. Løsningskurverne består af to sektioner, der ikke hænger sammen men som har en lodret asymptote, hvor funktionen ikke er defineret.
Svar #1
15. november 2012 af peter lind
Lav en ny funktion g(x) = y'(x)/y(x) og undersøg den.
For det sidste prøv at lav grafer for forskellige værdier af c
Svar #2
15. november 2012 af Andersen11 (Slettet)
Det fremgår jo direkte af differentialligningen
y' = a·y·(M - y) ,
at
y' / y = a·(M - y)
hvoraf det ønskede ses.
Svar #3
15. november 2012 af LLLLLLLLLLLLLLLL
Tak begge to .. kan I evt. uddybe 'anden del'? :) Altså det med konstanten c ..
Svar #4
15. november 2012 af LLLLLLLLLLLLLLLL
og hvordan bestemmer jeg konstanten M ud fra forskriften? Kan jeg det?
Svar #5
15. november 2012 af Andersen11 (Slettet)
#3
Hvis man ændrer konstanten c til c·k , hvor k > 0, har man så
y(x) = M/(1+c·k·e-a·M·x)
= M/(1+c·eln(k)·e-a·M·x)
= M/(1+c·eln(k)-a·M·x)
= M/(1+c·e-a·M·(x-ln(k)/(aM)))
= y(x - ln(k)/(aM))
hvoraf man ser, at ændring af konstanten c resulterer i en parallelforskydning af grafen langs x-aksen.
Skriv et svar til: Logistisk vækst
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.