Differentialregning

Funktionsundersøgelse

Bestem den afledede funktion f'(x)
Løs ligningen f'(x) = 0   (hvilket giver dig de værdier for x, hvor f(x) har ekstrema (maksimum og/eller minimum)
Foretag fortegnsundersøgelse for f'(x) før, mellem og efter disse ekstremaer, hvilket vil "afsløre" om f(x) er stigende eller faldende i de givne intervaller.
Opskriv monotoniforholdene

Givet funktionen:

f(x) = x²

Bestemmes den afledede:

f'(x) = (x²)' = 2x

Ekstrema bestemmes:

f'(x) = 0    ⇒    2x = 0    ⇔   x = 0

f(x) har således et ekstrema når x = 0

Fortegnsundersøgelse for f'(x):
(her vælges værdier for x på begge sider af ekstremaet)

f'(-1) = 2·(-1) = -2
f'(1) = 2·1 = 2

Monotoniforhold:

f er aftagende (faldende) i intervallet ]-∞;0] da f'(x) < 0
f er voksende i intervallet [0;∞[ da f'(x) > 0

f har (globalt) minimum i punktet (0,f(0)) = (0,0)