Matematik

Differentialligninger

21. september 2005 af Export (Slettet)

Hejsa,

Jeg vil gerne have hjælp til at løse afleveringsopgaven på http://www.imf.au.dk/kurser/diffligninger/E05/ugesedler/u4.pdf

I spørgsmål (a) har jeg lidt på fornemmelsen, at jeg skal bruge ulighederne fra Opgave A på samme ugeseddel, men jeg kan ikke rigtig få det skrevet rigtigt op.
Hvad angår spørgsmål (b) og (c), så er jeg temmelig blank, så håber på nogle hints!

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. september 2005 af 404error (Slettet)

(1). Opskriv i termer af basisvektorer og brug enhver matematikers favoritulighed.

(2). Sammensætningen af to kontinuerte funktioner er kontinuert.

(3). Approksimér med f.eks. middelsummer og benyt favorituligheden igen.

Svar #2
21. september 2005 af Export (Slettet)

#1: Tak for hintene! Jeg antager, at favoritten er Trekantsuligheden -- korrekt? Jeg ser på det, og så vender jeg tilbage, hvis (når?) jeg går i stå igen.

Svar #3
22. september 2005 af Export (Slettet)

Jeg har et forslag til spørgsmål (a), men jeg bruge godt nok ikke det du forslår:

Lad x = (x_1,x_2,...,x_n) være en reel vektor i R^n, så er det oplagt, at

0

hvor "

(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2)^(1/2)

der er det samme som at

||x||

Med C = 1 fås altså det ønskede.

Kan det gøres/bevises som jeg har forsøgt her?

Svar #4
22. september 2005 af Export (Slettet)

Hovsa, det var da vist ikke rigtig, det jeg vik skrevet i #3: Jeg mener, at da

0

kan jeg tage kvadratroden på begge sider.

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. september 2005 af 404error (Slettet)

Der efterspørges ulighedens gyldighed for en generel norm ||.|| på R^n. Du viser det blot for den Euklidiske norm, det er utilstrækkeligt.

Brugbart svar (0)

Svar #6
22. september 2005 af fixer (Slettet)

Ok. Lad os starte med opgave a).

Givet et vektorrum V over et (under)felt af de komplekse tal C, da er en norm en funktion p:V->R hvorom det gælder for ethvert a E C og u,vEV

a) p(v)>=0
b) p(av)=|a|p(v)
c) p(u+v)=
d) p(v)=0 <=> v=0 (nulvektor)

Lad nu (e_1, e_2,...,e_n) betegne en basis for R^n.

Da kan en vilkårlig vektor u E R^n skrives

u = (u1*e_1+u2*e_2+...+un*e_n)

hvor altså u_i, 1=<i=<n er skalarer.Kig nu på p(u) og udnyt regel b+c ovenfor, så følger det ønskede umiddelbart.

Svar #7
22. september 2005 af Export (Slettet)

#6: Okay, jeg forsøger lige igen:

Lad x = (x_1,x_2,...,x_n) være en reel vektor i R^n og (e_1,e_2,...,e_n) betegne en basis for R^n. Det gælder så, at

||x||
= (x_1*e_1+x_2*e_2+...+x_n*e_n)
=
= |x_1|*e_1+|x_2|*e_2+...+|x_n|*e_n
= sum_{i=1}^n (|x_i|)
= ||x||_1

Ved at vælge C=1>0 (det er C'et fra opgaveformuleringen), fås det ønskede.

Kan det skrives sådan?

Brugbart svar (0)

Svar #8
22. september 2005 af fixer (Slettet)

Pånær nogle småfejl, ja.

Vi betragter din vilkårlige vektor x i R^n. Og vi kan skifte mit p ud med den sædvanlige normbetegnelse ||.||.

||x|| = ||x_1*e_1+x_2*e_2+...+x_n*e_n||

=

= |x_1|*||e_1||+|x_2|*||e_2||+...+|x_n|*||e_n|| (regel b)

=|x_1|+|x_2|+...+|x_n| (def på enhedsvektor)
=||x_1||

q.e.d.

Svar #9
22. september 2005 af Export (Slettet)

Mange tak for hjælpen!

Spørgsmål (b):
Først lige notation:

"FA" betyder "for alle"
"EX" betyder "eksisterer"
"in" betyder "er element i"
"eps" betyder "epsilon"
"del" betyder "delta"

Jeg er temmelig dårlig til epsilon-delta-beviser, så jeg vil også meget gerne have hjælp til at vise, at

FA s in I FA eps > 0 EX del > 0 FA t in I : |t-s| < del => | ||f(t)||-||f(s)|| |

hvilket vel er det der skal til for at bevise, at kontinuiteten, er det ikke korrekt?

Svar #10
22. september 2005 af Export (Slettet)

#9: Det sidste rettes til "hvilket vel er det, der skal til for at bevise kontinuiteten af ||f(t)|| på I, ikke?".

Brugbart svar (0)

Svar #11
22. september 2005 af 404error (Slettet)

#7,#8: Dog må ej glemmes, at enhedsvektorer ikke har længde 1 under en vilkårlig norm. Tag derfor

C = max_i ||e_i||.

Hvad angår #9, bør du benytte, at ||f(.)|| er en sammensat funktion og f per antagelse er kontinuert. Af en velkendt(?) sætning er det derfor tilstrækkeligt at eftervise kontinuitet af normen - dette naturligvis mht. metrikken induceret af normen.

Svar #12
22. september 2005 af Export (Slettet)

#11: Tak for korrektionen mht. spørgsmål (a).

Hvad angår Spørgsmål (b), gider du så ikke nok at hjælpe mig i gang, for jeg ved ikke rigtig hvordan jeg skal gøre det?

Brugbart svar (0)

Svar #13
22. september 2005 af 404error (Slettet)

Benyt sammen med den af dig tidligere angivne definition på kontinuitet, følgende variation på trekantsuligheden

| ||x||-||y|| |

- samt naturligvis definitionen på metrikken induceret af en norm.

Svar #14
22. september 2005 af Export (Slettet)

Jeg læste vist ikke lige #11 helt grundigt nok, for hvad er/betyder "metrikken induceret af en norm" i grunden?

Brugbart svar (0)

Svar #15
22. september 2005 af 404error (Slettet)

På et normeret (vektor)rum (V,||.||) giver normen anledning til en metrik via fastsættelsen

d(x,y) = ||x - y||, x,y \\in V.

En metrik (eller mere generelt en topologi) er en forudsætning for meningsfyldte kontinuitetsovervejelser i det generelle tilfælde - omend man fra R^n let kan tillægge sig dårlige vaner med at identificere norm og metrik.

Brugbart svar (0)

Svar #16
22. september 2005 af 404error (Slettet)

... identificere norm /med/ metrik, skulle der naturligvis stå.

Svar #17
22. september 2005 af Export (Slettet)

Godt så ... der er vist lige noget jeg skal have set på i mine bøger, for det virker ikke som noget jeg har stiftet bekendskab med før.

Hvad angår valget af epsilon i #9, gider du så at fortælle mig, hvad jeg skal vælge? Det er som regel det jeg har sværest ved -- altså at finde et passende epsilon -- i sådanne beviser.

Brugbart svar (0)

Svar #18
22. september 2005 af 404error (Slettet)

Du vælger skam ikke et epsilon - det er givet på forhånd, jf. din definition. Du vælger derimod et delta, som i denne opgave passende kan vælges til at være epsilon selv.

Svar #19
22. september 2005 af Export (Slettet)

#18: Ups ... naturligvis skal jeg finde et delta! Gider du at hjælpe mig i gang med beviset, for er ret usikker på hvordan jeg skal få startet?

Brugbart svar (0)

Svar #20
22. september 2005 af 404error (Slettet)

For et x \\in R^n, lad epsilon > 0 være givet. Det skal vises, at der findes et delta > 0, så

d(x,y)

med d metrikken induceret af normen, medfører

| ||x|| - ||y|| |

I så fald er normfunktionen ||.|| kontinuert i x. Prøv selv at overtage herfra under anvendelse af de øvrige hints jeg indtil videre har givet.

Forrige 1 2 3 Næste

Der er 44 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.