Matematik
BEVIS - differentation af tanx
Jeg sidder og er ved at forberede mig til mundtlig eksamen, og er nu nået til differentation af tanx.
Sætning: den aflede funktion h(x)=tanx er h´(x)=1/cos^2x=1+tan^2x
Bevis:
Jeg ved, at tanx=sinx/cosx, dvs at h(x)=tanx=sinx/cosx
Jeg benytter brøkreglen for differentation ( (f/g)´(x0)=(f'(xo)*g(xo)-f(xo)*g'(xo)/g(xo)^2 )
så jeg får:
h'(x)= (sinx)'*cosx-(cosx)''sinx/cos^2x
Hertil forstår jeg hvad der sker, men så kommer det efterfølgende (taget ud fra min matematik bog):
= cosx*cosx-(-sinx)*sinx/cos^2x --> her forstår jeg ikke hvad der sker
= cos^2x+sin^2x/cos^2x --> her er jeg med på hvad der sker i forhold til ovenstående
Vi kan benytte grundrelationen for sinus og cosinus:
sin^2x+cos^2x=1 --> jeg er også med på grundrelationen, men hvordan kommer man fra ovenstående til det her?
og får så:
h'(x)=1/cos^2x ---> jeg forstår heller ikke hvordan ovenstående kan blive til dette, hvor bliver sinus af?
Vi kan også vælge at dele brøken op:
h'(x)=cos^2x+sin^2x/cos^2x
=cos^2x/cos^2x + sin^2x/sin^2x --> jeg er med på at da der står det samme i nævneren kan brøken deles op i to.
=1+tan^2x --> hvorfor??
Jeg håber, at der er en der vil hjælpe mig.
Svar #1
19. november 2012 af peter lind
Du sjusker med parenteser og det er muligvis derfor det går galt
Du har (korrigeret for manglende parenteser) h'(x) =((sin(x))'*cos(x)-(cos(x))''sin(x))/cos2(x)
I tælleren indsætter du (sin(x))' = cos(x) og (cos(x))' = -sin(x) Hvilket giver cos(x)*cos(x) - ( sin(x)*(-sin(x)) = cos2(x) +sin2(x) = 1
Tælleren er altså 1 nævneren er cos2(x) h'(x) = 1/cos2(x)
Lader du være med at fretage sidste udregning har du ( sin2(x) +cos2(x) )/cos2(x) = (dividerer cos2(x) op i hvert led) sin2(x)/cos2(x) + cos2(x)/cos2(x)
Svar #2
19. november 2012 af hbhans (Slettet)
tan(x) = sin(x)/cos(x)
Brug differentiation af brøk: tan'(x) = [sin'(x)*cos(x) - sin(x)*cos'(x)]/cos2(x) = [cos2(x) + sin2(x)]/cos2(x)
Nu kan man gå to veje: enten 1/cos2(x) eller 1 + tan2(x), afhængigt af om man reducerer nævneren til 1 eller dividerer hvert led med cos2(x)
Svar #3
19. november 2012 af Andersen11 (Slettet)
#2
Det er vel tælleren cos2(x) + sin2(x) , der kan reduceres til 1.
Svar #4
19. november 2012 af lulu62 (Slettet)
tusind tak for det hurtige svar, jeg har fået fat i alt minus det sidste, hvor brøken kan deles op.
Jeg er med på, at vi har brøken cos(x)^2+sin(x)^2/cos(x)^2, der kan deles op i to, men hvordan bliver det lig med 1+tan^2(x)??
Svar #6
20. november 2012 af hbhans (Slettet)
Ad #3
Ja, selvfølgelig er det tælleren. Jeg kludrer i det!
Skriv et svar til: BEVIS - differentation af tanx
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.