Logistisk vækst

                          dN/dt  =  N•(0,54 - aN)

                          73 = 190•(0,54 - a•190)

                          (73/190) = 0,54 - a•190

                          190a = 0,54 - (73/190)

                          a = ( 0,54 - (73/190) ) / 190 ≈ 0,00082

Indsæt oplysningen om væksthastighede og antal gærceller i formlen. Det giver en ligning til bestemmelse af a. Løs derefter differentialligningen. Det kan gøres med brug af separation af variable eller et CAS værktøj

                          dN/dt  =  N•(0,54 - 0,00082N)

har løsningen
                                         0,54/0,00082          658,581
                             N(t) =   -----------------  =    ----------------
                                           1 + C·e^-0,54•t       1 + C·e^-0,54•t

                                          658,581
                            190 =   ----------------- 
                                        1 + C·e^-0,54•6          

                            C = 62,9717

hvordan finder man så den øvre grænse for vækst

                                                     658,581
                             N(t) =    =    --------------------
                                                1 + 62,97·e^-0,54•t

 
     for t → ∞  går nævneren mod  1 + 0 = 1

   hvorfor

                             N(t) har linjen   y = 658,581   som vandret asymptote
 

Hvordan Bestemmer man så antallet af gærceller pr. cm3 til tiden 0 timer??

Find N(0)

N(0)=658,581/1+62,9717*e^-0,54*0

Hvis det er rigtig, hvordan kommer jeg så videre??

Du mangler nogle parenteser. Du får fat i en lommeregner eller lignende og regner det ud

Hvor ska de lige præcis være?

                                                     658,581              658,581
                             N(0)    =    --------------------   =    --------- ≈ 10
                                              1 + 62,97·e^-0,54•0        63,97

næstsidste spørgsmål
 

                                                    658,581            
                             N(t)    =    --------------------   =   0,95 • 658,581
                                             1 + 62,97·e^-0,54•t       

Hvornår når den så 95 % af sin maksimale størrelse

                                                         1             
                                              --------------------   =   0,95
                                             1 + 62,97·e^-0,54•t       

                                     1 + 62,97·e^-0,54•t = 1,05263

                                      62,97·e^-0,54•t = 0,05263

                                      e^-0,54•t = 0,05263 / 62,97 = 8,3582·10^-4

                                      e^0,54•t = 1196,43

                                      0,54•t = ln(1196,43)

                                      t = ln(1196,43) / 0,54 = 13,1243 timer = 13 tim 7 min 27 sek

sidste spørgsmål

generelt

     største vækst
     med
                      dN/dt = N(b - aN)

   kræver
                      d²N/dt² = dN/dt • (b - aN) + N•(0 - a•dN/dt) = 0

                                    dN/dt • (b - aN - aN) = dN/dt • (b - 2aN) =

                                    N(b - aN) • (b - 2aN) = 0       0<N<(b/a)
                                     ^positiv

   hvoraf
                                    b - 2aN = 0

                                    N = (1/2)(b/a)

  som indsat i    
                                    b/a
                      N(t) = -------------
                                1 + Ce^-b•t

 giver
                                              b/a
                      (1/2)(b/a) = -------------
                                         1 + Ce^-b•t

  hvoraf

                     2 = 1 + Ce^-b•t

                     Ce^-b•t = 1

                     e^-b•t  = C^-1

                     e^b•t  = C

                     b•t = ln(C)

                     t = ln(C) / b

opsummering:
                                   b/a
                     N(t) = -------------
                                1 + Ce^-b•t

har maksimal vækst
     for
                    t = ln(C) / b
                

specifikt

                                      658,581
                     N(t) = --------------------
                               1 + 62,97e^-0,54•t

har maksimal vækst
     for
                    t = ln(62,97) / 0,54 = 7,67159 timer = 7 tim 50 min17,7 sek

I svar #14 forstår jeg ikke, hvor 658,58 bliver af, hvordan det bliver til 

                                                    1
                                              --------------------   =   0,95 
                                             1 + 62,97·e-0,54•t  

#17                                                    658,581            
                             N(t)    =    --------------------   =   0,95 • 658,581
                                             1 + 62,97·e^-0,54•t                                       divider med 658,581
på begge sider af
                                            

men hvorfor er 

                                                658,581
                             N(t)    =    --------------------              det samme som -->  0,95 • 658,581
                                             1 + 62,97·e-0,54•t     

#19

      fordi 658,581 er maksimalværdien
og
      0,95 • 658,581 er 95% af maksimalværdien

samt