Matematik

Differentielkvotient-bevis

22. september 2005 af Einstein_15 (Slettet)

Så er jeg tilbage:)

For at bevise at a er hældningen i ax+b indsætter man ax+b i formlen, f(x)-f(x0)/(x-x0) = ax+b-(ax0+b)/(x-x0)= ax+b- ax0-b/(x-x0)= ax-ax0/(x-x0)= a(x-x0)/(x-x0) = a!.
Kan i give mig en beskrivelse af hvordan jeg kan forklare dette. Metoden sidder fast, men det dér med at forklare.....jah, det er bare ikke som det skal være:)
Hvordan ville i bruge samme metode ovenover til at finde differentielkvotienten af f.eks x^2 eller sqrt(x)?

På forhånd mange tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. september 2005 af fixer (Slettet)

Såfremt grænseværdien findes, er differentialkvotention af en funktion f i punktet x0 bestemt som

lim[x->x0]((f(x)-f(x0))/(x-x0))

og heraf følger tolkningen af differentialkvotienten som hældning af tangenten til grafen for f i punktet (x0,f(x0)).

Du har selv lavet gymnastikken med et 1. grads polynomium.

For f(x)=x^2 finder vi vilkårligt reelt x0

(x^2 - x0^2)/(x-x0) =
(x-x0)(x+x0)/(x-x0) =
x+x0

men

lim[x->x0](x-x0) = 2x0

Da x0 var vilkårligt valgt sluttes heraf at hvis f(x)=x^2 er f'(x)=2x

Lad nu f(x)=sqrt(x), x>=0. Helt analogt fås

(sqrt(x)-sqrt(x0))/(x-x0) =
(sqrt(x)-sqrt(x0))/( (sqrt(x)-sqrt(x0))(sqrt(x)+sqrt(x0)) ) =
1/(sqrt(x)+sqrt(x0))

men

lim[x->x0](1/(sqrt(x)+sqrt(x0)) = 1/(2sqrt(x0)). Med samme argument som før slutter vi nu at hvis f(x)=sqrt(x) da er f'(x)=1/(2sqrt(x)).

Brugbart svar (0)

Svar #2
22. september 2005 af fixer (Slettet)

Rettelse:

"For f(x)=x^2 finder vi vilkårligt reelt x0"

skal være:

For f(x)=x^2 finder vi for et vilkårligt reelt x0

Svar #3
22. september 2005 af Einstein_15 (Slettet)

#1

Aha....okay. Men jeg har stadigvæk svært ved at forstå den med sqrt(x). Du forlænger den jo også i nævneren og der går det hele vidst nok i sort.. men tak for hjælpen..

Brugbart svar (0)

Svar #4
22. september 2005 af fixer (Slettet)

#3 Jeg forlænger ikke brøken. Jeg omskriver nævneren. Bemærk nemlig at da
for vilkårlige tal, a,b

(a-b)(a+b) = a^2 - b^2

og da for x >= 0

x = sqrt(x)*sqrt(x)

så må der gælde

x - x0 =
( (sqrt(x))^2 - (sqrt(x0))^2 ) =
(sqrt(x)-sqrt(x0))(sqrt(x)+sqrt(x0))

Det er dette udtryk jeg har omskrivet til i nævneren. Første faktor går dernæst ud mod tælleren.

Svar #5
22. september 2005 af Einstein_15 (Slettet)

#4

jeg ser et lys i mørket..hehe..Mange tak for dit hurtige og uddybende svar. må jeg spørger dig om hbilken retning du studerer af civilingeniør uddannelsen?

Svar #6
22. september 2005 af Einstein_15 (Slettet)

#4

der skulle stå hvilken

Brugbart svar (0)

Svar #7
22. september 2005 af fixer (Slettet)

#5 Jeg blev elektroingeniør på DTU for 9 år siden.

Svar #8
22. september 2005 af Einstein_15 (Slettet)

#7

cool...takker

Skriv et svar til: Differentielkvotient-bevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.