Matematik
Kontinuitet
Jeg har desværre store problemer ved at forstå kontinuitet, og derfor prøver jeg at øve mig lidt vha. småopgaver. Men, men, men selv her er jeg i vanskeligheder.
En funktion er givet ved:
f(x) = 2x for x x^2 +1 for x >=1
Jeg skal så gøre rede for at f er en kontinuert funktion.
Jeg har selvfølgelig tegnet funktionen, så kan jo se, at dette gælder, men hvordan skrives det "matematisk"?
For vi ved, at polynomier er kontinuerte, og øverste linje er en 1. grads pro. og nederste er vel en 2. grads pro.
Vi kan vel også se, at funktionen er kont fra venstre i 1 , men fra højre er den ikke!
Håber på hjælp og en bedre forklaring.
På forhånd tak
Ps. Har også lige et andet eks., som jeg ikke forstår, men det løses måske ved hjælp til denne :)
Svar #1
22. september 2005 af frodo (Slettet)
såfremt disse tre værdier er sammenfaldende, er der tale om kontinuitet
Svar #2
22. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)
Svar #3
22. september 2005 af Snemanden (Slettet)
Vil det sige, at hvis
f(1) = 2*1 = 2
f(1) = 1^2 + 1 = 2
giver det samme resultat, så er det bevist, at der er tale om kontinuitet? Eller?
Svar #4
22. september 2005 af frodo (Slettet)
Svar #5
22. september 2005 af Snemanden (Slettet)
"det undersøger vi da ved at finde f(1) og lim(x-->1+)f(x) og lim(x-->1-)f(x)"
Ved ovenstående hoppede jeg af. Eller er det bare en anden måde at skrive det på. At når (x-->1+) så skal vi finde ud af, hvad f(x) nærmer sig, og når (x--> 1-) så skal vi finde ud af, hvad f(x) nærmer sig, hvilket så i begge tilfælde er 2, og dermed er f kontinuert..
Håber den kludrede formulering er forståelig
Svar #6
22. september 2005 af Epsilon (Slettet)
Du kan ikke beregne f(1) ud fra funktionen
f(x) = 2x, x
thi den er ej defineret i x=1. Helt præcist er kravet til kontinuitet i x = 1, at
lim[f(x)] = f(1)
x->1
som dækker over to ligninger (jf. #1). Imidlertid er f kontinuert i 1 fra højre, per konstruktion; f(x) = x^2 + 1, x >=1, er kontinuert. Derfor kan kravet indsnævres til
lim[f(x)] = f(1)
x->1-
hvilket kontrolleres.
//Epsilon
Svar #7
22. september 2005 af Snemanden (Slettet)
x->1- er opfyldte..
Forstår så bare ikke, hvorfor man ikke bare kan "putte" 1 ind i formlen, for når f er kontinuert, så må der da gælde, at vi ved at "putte" 1 ind i øverste og nederste må få samme resultat. Og når vi så får det samme resultat (her 2), så må f netop være kontinuert!
Tak for tålmodigheden :)
Svar #8
22. september 2005 af frodo (Slettet)
Men kravet du skriver, ER opfyldt! Ellers var der jo ikke kontinuitet jf. #6
Svar #9
22. september 2005 af Snemanden (Slettet)
Svar #11
22. september 2005 af Epsilon (Slettet)
Det kan du skam - jeg modsiger dig ikke på dette punkt i #6.
Men bemærk, at f(x) = 2x, x
f(1) ud fra f(x) = 2x
Men grænseværdien
lim[f(x)]
x->1-
eksisterer og er lig 2, netop fordi f(x) = 2x er kontinuert. Altså
lim[2x] = 2*1 = 2 = 1^2 + 1 = f(1)
x->1-
hvilket viser, at f er kontinuert. Jeg vil blot være sikker på, at du forstår distinktionen.
//Epsilon
Svar #12
22. september 2005 af Snemanden (Slettet)
Jeg forstår det nu, så det er guld værd, det i har forklaret.. Så endnu engang tak :)
Svar #13
23. september 2005 af Snemanden (Slettet)
Så har jeg prøvet at lave nogle andre opgaver, og vil gerne lige høre, om det aå er rigtig det jeg gør.. Opgaven lyder:
Bestem tallet a så følgende funktion er kontinuert
f(x) = 2x+1 ;x ax+3 ;x>=2
Mit svar er:
Vi ser hurtigt at det eneste punkt, hvor der kan være tvivl om kontinuitet er x=2 ; når altså a er bestemt sadan, at funktionen er kontinuert. Der må derfor gælde at
lim(f(x)) = f(2) og lim(f(x)) = f(2)
x--> 2- x-->2+
Vi får at
lim(2x+1) = 2*2+1 = 5 = f(2)
x-->2-
Derfor må der gælde at
lim(ax+3) = a*2+3 = 5 = f(2) <=> a= 1
Altså er f kontuniert, når tallet a=1
Mit spørgsmål er så, om det ikke er forkert, når jeg går ud fra 2x+1 ;x
På forhånd tak :)
Svar #14
23. september 2005 af fixer (Slettet)
f(2) kan ikke beregnes vd at indsætte x=2 idet f ej er defineret for x=2. Men polynomiefunktionen 2x+1 vides at være kontinuert i x=2 med værdien 5. Derfor eksisterer grænseværdien
lim[f(x)]
x->2-
og er lig 5.
Svar #15
23. september 2005 af Epsilon (Slettet)
Lad os lige repetere proceduren. Så kan du vistnok selv fremover.
Vi skal bestemme a således, at funktionen
f(x) = 2x + 1, for x
f(x) = ax + 3, for x >= 2
er kontinuert. Vi ser, at f per konstruktion er kontinuert i ethvert x != 2, idet førstegradspolynomier er kontinuerte.
Da f(x) = 2x + 1 er kontinuert, har vi
lim[f(x)] =
x->2-
lim[2x+1] = 2*2 + 1 = 5
x->2-
Da f(x) = ax + 3 er kontinuert, har vi
lim[f(x)] =
x->2+
lim[ax + 3] = 2a + 3 = f(2) (*)
x->2+
(Bemærk: f(x) = ax + 3 er tillige defineret i x=2, i modsætning til f(x) = 2x + 1 (se ovenfor). Derfor gælder det sidste lighedsudsagn i (*)).
Vi kræver kontinuitet i x=2, formelt;
lim[f(x)] = f(2)
x->2
Af ovenstående ses, at dette kan lade sig gøre præcis, hvis
2a + 3 = 5 <=> a = 1
Beregningerne kan passende ledsages af en grafisk illustration, hvorpå man ser, at de to grafsegmenter 'kobles' i punktet (2,5).
//Epsilon
Skriv et svar til: Kontinuitet
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.