fourierrække

Hvis funktionen f(t) er stykkevis differentiabel i hovedintervallet, konvergerer Fourierrækken for f(t) punktvis mod f(t), hvis f(t) er normaliseret. Det betyder, at dens funktionsværdi i et diskontinuitetspunkt skal være middelværdien af grænseværdierne fra højre og venstre. Den forelagte funktion har to diskontinuitetspunkter, nemlig t = 0, og t = π . Bestem derfor α og β , så funktionen bliver normaliseret.

når jeg plotter kan jeg se at f(t)= 4  både i t=0 og i t=π

så har jeg at α=(1/2)*(f(t⁺)+f(t^-))=(1/2)*(4+0)=2

β=(1/2)*(f(t⁺)+f(t^-))=(1/2)*(4+0)=2

#2

Ja, det er korrekt. Det fremgår jo også umiddelbart af funktionsforskrifterne, at

f(t) = 0 → 0 for t → 0^- og for t → -π⁺ og dermed også for t → π⁺

og

f(t) = 4 + sin(4t) → 4 for t →0⁺ , og

f(t) = 4 + sin(4t) → 4 + sin(4π) = 4 for t → π^-

i fjerde delopgave når jeg vil finde a_0 så siger jeg

(1/π) * ∫_-π^π 4+sin(4*t) dt= 8

Men jeg kan se at facit skal give 4. er det sådan at jeg skal integrerer fra 0 til pi fordi (4+sin(4*t) ) kun er defineret i det interval? eller er det helt galt?

#4

Du skal jo benytte funktionens forskrift. Den er jo kun 4+sin(4t) på intervallet ]0;π[ . På intervallet ]-π;0[ er funktionen konstant lig med 0. Integralet deles derfor op i henhold til den stykkevise definition af f(t). Der skal selvfølgelig integreres fra -π til π , men da funktionen er 0 på hele ]-π;0[ , svarer det så i praksis til kun at integrere på ]0;π[ .

_-π∫^π f(t) dt = _-π∫⁰ f(t) dt + ₀∫^π f(t) dt = _-π∫⁰ 0 dt + ₀∫^π (4+sin(4t)) dt