Logistisk vækst

Man antager, at den logistiske differentialligning beskriver det, man er ved at lave model for.

Måske hjælper det med et mere håndgribeligt eksempel:

Betragt en population af bakterier på et lille/begrænset område:

Hvad kan vi sige om populationens størrelse,y,  som funktion af tiden?

En tilvækst i populationen, Δy, over en kort periode, Δt, må afhænge af, hvor mange bakterier, der allerede er der på dette tidspunkt.

Det skriver vi således: Δy ∝ y Δt     - eller Δy = c y Δt. 

Tilvæksten, antager  vi, er proportional med populationens størrelse og med det anvendte (lille) tidsrum, Δt. Proportionalitetskonstanten c, er så et mål for vækstraten. Denne model er basis for en eksponentiel vækst uden
nogen øvre grænse.

I en logistisk model sætter vi en øvre grænse på mængden af bakterier: y_max = M (mere end M individer er der simpelthen ikke plads og næring til). M er altså "systemets kapacitet" så at sige.

Vi forventer så, at en tilvækst i populationen, Δy, over det lille tidsrum, Δt, også må afhænge af, hvor meget plads, der er tilbage. Det skriver vi således: Δy ∝ (M - y) Δt     - eller Δy =  a y (M-y) Δt.
I begyndelsen af populationens udvikling er y forsvindende så M-y ≈ M og vi har næsten fri eksponentiel vækst, som angivet ovenfor. Når populationens størrelse nærmer sig systemkapaciteten M er M-y meget lille, så Δy bremses kraftigt ned for til sidst at dø hen. 

Grænseværdien for væksthastigheden: lim_t→0 Δy/Δt er netop den differentialligning, hvis oprindelse du efterlyser:

y' =  a y (M-y)

mener at man kalder M for "bæreevnen"