andenordens differentialligning

En anden ordens homogen differentialligning løses ved at at opstille den karakteristiske ligning x²+ax+c=0 og løses den. Er der reelle løsninger vil løsningerne være af formen c₁*e^r1*x+c₂*e^r2*x, hvis der kun er en rod(eller dobbelt rod vil der også være en løsning af formen c₂*x*e^rx. Er der ingen rødder er løsningern af formen c*e^kxsin(dx+φ). Du kan lave prøve med de forskellige former for løsninger og dermed bevise dem. (r står for rødder i formlerne)

men kommer jeg så ikke ind på de komplekse og imaginere tal, er det en måde hvorpå jeg kan ungå dette?

Den sidste del er netop for at undgå komplekse rødder. Hvis man tillod komplekse rødder vil de første del være fuldt tilstrækkelig

det jeg ha gjort er at gætte mig frem til løsnignerne på ligningerne såsom asin(bx+c) og y''=-k^2 (cos(kt)·c1+sin(kt)·c2) og så har jeg differentieret for at gøre prøve og se om det var en løsning.

men jeg fornemmer dette ikke er nok til at besvare min opgave fulstændigt? :s

Hvordan kommer vi fra cos(mx)*c1+sin(mx)*c2 til c1*e^(kx)sin(dx+φ)??
Vores ligning er y''+a*y'+b*y=0, dermed tænker jeg, at det vel er muligt at få alle tre løsninger, og disses skal vises. Er det forkert?

Er det vi skal gøre ikke at lave et eksempel for hver af de tre løsninger? 
Så at vi fc tager c1*er1*x+c2*er2*x differentiere den en og to gange for derefter at. - det er her jeg kommer i tvivl.
Sætter den ind  min ligning og ser om det er lig med nul omskriver den til y''=-a*y'+b*y, og ser om løsningen stemmer overens. 


For y''+ky=0 
Alt afhængig om fortegnene for k finder jeg tre løsninger:
y''=0y:               y=c1*c+c2
y''=k^2*y           y=c1*e^(mx)+c1*e^(-mx)
y''=-k^2*y      y=c1*cos(kx)+c2sin(kx)

Er følgende løsninger også gældende for y''=-a*y'+b*y?

Jeg er ikke helt klar over hvad du mener.

Du kan bruge additiosformlerne for sinus til at få skrevet på en anden måde Der gælder således sin(kx+φ) = sin(kx)*cos(φ) + cos(kx)*sin(φ) så du får en sum af cosinus og sinus funktioner.

Der er forskel på om koefficienten til b er 0 eller ej. Hvis den ikke er 0, vil du altid få en eksponentialdel. Hvis diskriminanten er positiv vil du 2 forskellige eksponentialfunktioner. Hvis diskriminanten er 0 vil du også få et led med x gange en eksponentialfunktion. Hvis diskriminanten er negati vil di få både eksponentialfunktion og trigonometriske funktioner. Det er omtalt i #1