Matematik

differentialligning

25. september 2005 af rizza (Slettet)

f er løsning til diff. ligningn:
dy/dx = (x-3)/y , y
og går gennem P(0,-4)

Bestem forskrift og DM for f.
jeg brugte seperation af de variable og fik:
y^2 = x^2 - 6x + 2k (*)<=>
y = sqrt(x^2 - 6x + 2k) , yhmm ja lidt svært da y altid skal være positiv.
Men jeg brugte (*) til at finde frem til følgende forskrift:
Y= sqrt(x^2 - 6x + 8) , y
hvordan finder jeg DM?

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. september 2005 af john vs. jon (Slettet)

du ved at funktionen skal være kontinuert og du har et punkt plus y<0. så skulle det ikk rigtig være noget problem.

Svar #2
25. september 2005 af rizza (Slettet)

jo desværre for
sqrt(x^2 - 6x + 8)
vil jo aldrig være opfyldt.

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. september 2005 af Vegeta (Slettet)

#2, du vil får to løsninger: for y^2,

y[1] = sqrt(x^2 - 6x + 8)
y[2] = -sqrt(x^2 - 6x + 8)

Svar #4
25. september 2005 af rizza (Slettet)

Ok, så vi bruger y(2) for ellers er y<0 ikke opfyldt, og så må det inde i kvadratroden bare ikke give 0, så xER\\{2,4} (korrekt??)

Brugbart svar (0)

Svar #5
25. september 2005 af john vs. jon (Slettet)

ja.. men der har vi allerede fået oplyst y
plus jeg nok lige ville kigge på den forskriften igen.. vil ikke helt mene den er rigtig..

Svar #6
25. september 2005 af rizza (Slettet)

Det var også det jeg skrev. Og jeg har kigget på den igen - kan ikke lige gennemskue hvad der skulle være forkert. Brugte seperation af de variable og integrerede altså.

Svar #7
25. september 2005 af rizza (Slettet)

Men den siger også: gør rede for, at f har en størsteværedi...
hmm - det har mig ikke...
nogen der vil hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #8
25. september 2005 af john vs. jon (Slettet)

her y^2 = x^2 - 6x + 2k vil jeg ikk give dig ret, vil mene det er y^2 = x^2 - 6x + k og derved bliver k=16.

har du et mat program kan du selv prøve det af.

Brugbart svar (0)

Svar #9
25. september 2005 af john vs. jon (Slettet)

hmm.. glem det sidste.. du har ret! men det mener mit matematik prgram ikk rigtigt.. men det er også rimelig ringe..
y^2 = x^2 - 6x + 2k <=> k=8
er sandt

Svar #10
25. september 2005 af rizza (Slettet)

ok ;o)
Men hvordan kan jeg gøre rede for, at f har en størsteværedi... (det har den da ikke ??)

Brugbart svar (0)

Svar #11
25. september 2005 af fixer (Slettet)

#6 Du har fået løsningen

f(x) = -sqrt(x^2-6x+C), C reel

og det er ganske korrekt.

Næste skridt er at bestemme konstanten C således, at grafen for f indeholder punktet P(0,-4). Med andre ord skal der gælde

f(0)=-4

hvilket entydigt fastlægger C. Du har bestemt at C=8. Det er ikke korrekt hvilket set ved at gøre prøve

f(x) = -sqrt(x^2-6x+8) =>
f(0) = -sqrt(0-0+8) = -sqrt(8) != -4

Prøv atter at løse nævnte ligning (Svar: C=16)

Når C er bestemt (lad os kalde den C_4) efterspørges dernæst Dm(f).

Definitionsmængden for f bestemmes af at kvadratrodsfunktionens argument skal være positivt eller nul samt at f(x)
x E Dm(f) <=> x^2-6x+16 > 0

Løs denne ulighed. (Svar: Dm(f)=R)

Redegørelsen for at f har en størsteværdi kræver ifølge opgaveformuleringen ikke bestemmelse af denne størsteværdi. Du kan derfor argumentere alene ud fra den kendte opførsel af de funktioner, hvoraf f er sammensat.

f(x) = h(g(x))

hvor

g(x) = x^2-6x+C_4

h(z) = -sqrt(z)

Funktionen sqrt(z) er monotont voksende i hele sin definitionsmængden Dm(f) altså er h(z) monotont aftagende i Dm(f). Såfremt f har en størsteværdi må den altså antages i et minimumspunkt for g. Men g har vitterligt et minimumspunkt i Dm(f), for g er et andengradspolynomium hvis graf er en parabel med grenene opad. Minimumspunktet er netop parablens toppunkt (="bundpunkt"). Og da Dm(f)=R, vides uden at undersøge det, at den x-værdi, hvori parablen har sit toppunkt, virkeligt tilhører Dm(f). Ergo har f en mindsteværdi.

Skriv et svar til: differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.