Mængden af trigonometriske polynomier

Hej, jeg har søgt lidt rundt men har kun kunne finde en meget lignende opgave men ikke den samme. Føler jeg slet ikke har forstået forelæsningerne, siden det her er VIRKELIG forvirrende for mig og har ikke den fjerneste ide om det.

For N=1,2,... betegner Trig_N(R) mængden af reelle trigonometriske polynomier af orden højst N, dvs. funktionen på formen:

f(x) = a₀ Sigma[n=1, N]( a_ncos(nx)) + Sigma[n=1,N]( b_nsin(nx))

Hvor a_i,b_i tilhører reelle tal. Et eksempel er: 1-cos(x) ligger i Trig₁(R) og cos(2x)-4sin(x) ligger i Trig₂(R) men ikke i Trig₁(R)

--

Opgave (1):

Vis at Trig₁(R) er et reelt vektor rum og at A=(1,cos(x),sin(x)) er en basis for Trig₁(R). Bestemt dimensionen af Trig₁(R). Hint: for at vise liner uafhngighed kan man evaluere funktionenne ved x=0,pi/2,pi ..

Opgave (2):

Vis at Trig₂(R) også er et reelt vektorrum og at Trig₁(R) er et underrum af Trig₂(R).

Opgave (3):

Vis at cos²(x) ligger i Trig₂(R). Der kan uden bevis anvendes at:

Cos(A)cos(B)=0.5(cos(a+b)+cos(a-b))